Quadratische Funktion oder quadratische Gleichung?

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Quadratische Funktion oder quadratische Gleichung?

Antwort

Verwandte Fragen

Was sind die Nullstellen von f(x) = (x - 2,5)² + 1?

Nullstelle von h(x) = x² - 1,5?

Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie lautet die Diskriminante für die Gleichung ax^2 + px + q = 0?

Wie löse ich die Gleichung 1a :(2^(-1/2) * a + 1^(-1/2)) nach a auf?

Wie lautet die erste Ableitung der Quadratwurzel von x?

Durch welche Operationen wird eine Funktion f(x) entlang der x-Achse gestaucht oder gestreckt?

Wie führt man Äquivalenzumformungen durch?

Löse die Gleichung 3x + 7 - 5x - 1 = 0 mit Äquivalenzumformungen und rechne die Probe.

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Accepted Answer

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die in der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) dargestellt wird, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Diese Funktion beschreibt eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet sein kann, abhängig vom Vorzeichen von \( a \). Eine quadratische Gleichung hingegen ist eine Gleichung, die die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) hat. Das Ziel bei einer quadratischen Gleichung ist es, die Werte von \( x \) zu finden, die die Gleichung erfüllen. Die Lösungen dieser Gleichung können durch verschiedene Methoden wie Faktorisierung, die Mitternachtsformel oder quadratische Ergänzung gefunden werden. Zusammengefasst: Eine quadratische Funktion beschreibt eine Beziehung zwischen \( x \) und \( f(x) \), während eine quadratische Gleichung eine Bedingung angibt, die erfüllt werden muss.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ (x - 2.5)^2 + 1 = 0 \] Zuerst isolieren wir den quadratischen Term: \[ (x - 2.5)^2 = -1 \] Da der Ausdruck \((x - 2.5)^2\) immer größer oder gleich null ist (da es sich um ein Quadrat handelt), kann er niemals gleich \(-1\) sein. Daher hat die Funktion \( f(x) = (x - 2.5)^2 + 1 \) keine Nullstellen.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösunge... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese Informationen sind wichtig, um das Verhalten der Parabel, die durch die Gleichung beschrieben wird, zu verstehen.

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1... [mehr]

Accepted Answer

Um den Ausdruck \( 1a : (2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}) \) nach \( a \) aufzulösen, muss zunächst klar sein, was genau gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du die Gleichung \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] nach \( a \) auflösen möchtest. **Schritt 1: Schreibe die Gleichung auf** \[ \frac{a}{2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2}} = 1 \] **Schritt 2: Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren** \[ a = 2^{-1/2} \cdot a + 1^{-1/2} \] **Schritt 3: Alle Terme mit \( a \) auf eine Seite bringen** \[ a - 2^{-1/2} \cdot a = 1^{-1/2} \] \[ a (1 - 2^{-1/2}) = 1^{-1/2} \] **Schritt 4: Nach \( a \) auflösen** \[ a = \frac{1^{-1/2}}{1 - 2^{-1/2}} \] **Schritt 5: Werte berechnen** - \( 1^{-1/2} = 1 \), weil jede Zahl hoch 0 ist 1 und jede Zahl hoch negativ ist der Kehrwert, aber 1 bleibt 1. - \( 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) Also: \[ a = \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \] **Schritt 6: Bruch vereinfachen** \[ a = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \] **Optional: Bruch rationalisieren** \[ a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \] **Endergebnis:** \[ a = 2 + \sqrt{2} \] Das ist die Lösung für \( a \).

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Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **A... [mehr]

Accepted Answer

Die zweite Wurzel von \( x \) ist gleich \( \sqrt{x} \) oder \( x^{1/2} \). Die erste Ableitung davon ist: \[ \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] **Antwort:** Die erste Ableitung von \( \sqrt{x} \) ist \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \(... [mehr]

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Eine Funktion \( f(x) \) wird längs der x-Achse gestaucht oder gestreckt, indem du das Argument der Funktion mit einem Faktor \( a \) multiplizierst: - **Streckung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( |a| > 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestreckt. - **Stauchung entlang der x-Achse:** \( f\left(\frac{x}{a}\right) \) mit \( 0 < |a| < 1 \) Die Funktion wird um den Faktor \( a \) in x-Richtung gestaucht. **Merke:** Multiplizierst du das \( x \) im Argument von \( f \) mit einem Wert größer als 1, wird die Funktion gestaucht; teilst du durch einen Wert größer als 1 (bzw. multiplizierst mit einem Wert zwischen 0 und 1), wird sie gestreckt.

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lö... [mehr]

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Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen oder Ungleichungen, bei denen die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das Ziel ist, die Gleichung so umzuformen, dass sie leichter zu lösen ist, ohne dass sich die Lösungen ändern. Hier sind die wichtigsten Regeln: 1. **Addition/Subtraktion**: Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Beispiel: \( x + 3 = 7 \) \(\rightarrow x + 3 - 3 = 7 - 3 \) \(\rightarrow x = 4 \) 2. **Multiplikation/Division**: Du kannst beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl (außer 0) multiplizieren oder durch sie teilen. Beispiel: \( 2x = 8 \) \(\rightarrow \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \) \(\rightarrow x = 4 \) 3. **Klammern auflösen**: Klammern können mit Hilfe des Distributivgesetzes aufgelöst werden. Beispiel: \( 2(x + 3) = 8 \) \(\rightarrow 2x + 6 = 8 \) 4. **Zusammenfassen von Termen**: Gleiche Terme auf einer Seite zusammenfassen. Beispiel: \( x + x = 6 \) \(\rightarrow 2x = 6 \) 5. **Unbekannte auf eine Seite bringen**: Alle Variablen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Beispiel: \( x + 2 = 3x - 4 \) \(\rightarrow x - 3x = -4 - 2 \) \(\rightarrow -2x = -6 \) **Wichtig:** Bei Ungleichungen (>, <, ≥, ≤) musst du beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umdrehen. **Zusammengefasst:** Bei jeder Umformung musst du die Gleichung so behandeln, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Das erreichst du, indem du auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation ausführst. Weitere Infos findest du z.B. bei [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/gleichungen/aequivalenzumformungen).

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach... [mehr]

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Die Gleichung lautet: \( 3x + 7 - 5x - 1 = 0 \) **1. Äquivalenzumformungen:** Zuerst gleichartige Terme zusammenfassen: \( 3x - 5x + 7 - 1 = 0 \) \( -2x + 6 = 0 \) Nun die Gleichung nach \( x \) umstellen: \( -2x + 6 = 0 \) \( -2x = -6 \) \( x = \frac{-6}{-2} \) \( x = 3 \) **2. Probe:** Setze \( x = 3 \) in die Ausgangsgleichung ein: \( 3 \cdot 3 + 7 - 5 \cdot 3 - 1 = ? \) \( 9 + 7 - 15 - 1 = ? \) \( 16 - 15 - 1 = ? \) \( 1 - 1 = 0 \) **Ergebnis:** Die Lösung ist \( x = 3 \). Die Probe stimmt.

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung... [mehr]

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer mathematischen Gleichung oder Aussage, bei der die Lösungsmenge unverändert bleibt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung genau die gleichen Lösungen haben. Äquivalenzumformungen werden häufig beim Lösen von Gleichungen verwendet, zum Beispiel durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (außer Null bei Division), oder durch Anwenden gleicher Operationen auf beiden Seiten. Ziel ist es, die Gleichung schrittweise zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.