Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut...
y = x² - ½x - ⅑?
Antwort vomUm die Funktion \( y = x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{9} \) zu analysieren, können verschiedene Aspekte betrachtet werden, wie z.B. der Scheitelpunkt, die Nullstellen und das Verhalten der Parabel. 1. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt einer Parabel der Form \( y = ax^2 + bx + c \) kann mit der Scheitelpunktformel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden. Hier ist \( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{2} \), und \( c = -\frac{1}{9} \). \[ x_s = -\frac{-\frac{1}{2}}{2 \cdot 1} = \frac{1}{4} \] Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setze \( x_s \) in die Funktion ein: \[ y_s = \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \] \[ y_s = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \] \[ y_s = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} - \frac{1}{9} \] \[ y_s = -\frac{1}{16} - \frac{1}{9} \] \[ y_s = -\frac{9}{144} - \frac{16}{144} = -\frac{25}{144} \] Der Scheitelpunkt ist also \( \left( \frac{1}{4}, -\frac{25}{144} \right) \). 2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setze \( y = 0 \) und löse die quadratische Gleichung: \[ 0 = x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{9} \] Diese Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel) gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -\frac{1}{2} \), und \( c = -\frac{1}{9} \). \[ x = \frac{-\left(-\frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4}{9}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{36}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{36} + \frac{16}{36}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{36}}}{2} \] \[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{5}{6}}{2} \] \[ x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \quad \text{oder} \quad x = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} \] Die Nullstellen sind also \( x = \frac{1}{4} \) und \( x = -\frac{1}{3} \). 3. **Verhalten der Parabel**: Da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist (\( a = 1 \)), öffnet die Parabel nach oben. Zusammengefasst: - Scheitelpunkt: \( \left( \frac{1}{4}, -\frac{25}{144} \right) \) - Nullstellen: \( x = \frac{1}{4
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