Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Gegeben ist der Term:

\[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \]

Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte:

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**1. Schreibe die Produktform explizit aus:**

\[
n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)
\]

Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\).

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**2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:**

\[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

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**3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:**

\[
(n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

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**4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:**

\[
\frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1}
\]

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**5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:**

Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus:

\[
\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}}
\]

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**6. Übrig bleibt:**

\[
n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)
\]

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**Fazit:**

\[
n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}
\]

Das ist die gesuchte Umformung.