Wie interpoliert man eine Parabel mit dem Polynom 2. Grades durch die Punkte (a, f(a)), (m, f(m)), (b, f(b)) mit a ≤ b und m=(a+b)/2?

Um eine Parabel (ein Polynom zweiten Grades) durch die Punkte \((a, f(a))\), \((m, f(m))\) und \((b, f(b))\) interpolieren, kannst du die allgemeine Form eines quadratischen Polynoms verwenden:

\[
P(x) = Ax^2 + Bx + C
\]

Hier sind die Schritte zur Bestimmung der Koeffizienten \(A\), \(B\) und \(C\):

1. **Setze die Punkte in die Gleichung ein**:
- Für den Punkt \((a, f(a))\):
\[
f(a) = Aa^2 + Ba + C
\]
- Für den Punkt \((m, f(m))\):
\[
f(m) = Am^2 + Bm + C
\]
- Für den Punkt \((b, f(b))\):
\[
f(b) = Ab^2 + Bb + C
\]

2. **Erstelle ein Gleichungssystem**:
Du erhältst ein System von drei Gleichungen:
\[
\begin{align*}
Aa^2 + Ba + C &= f(a) \quad (1) \\
Am^2 + Bm + C &= f(m) \quad (2) \\
Ab^2 + Bb + C &= f(b) \quad (3)
\end{align*}
\]

3. **Löse das Gleichungssystem**:
Du kannst die Gleichungen (1), (2) und (3) nach \(A\), \(B\) und \(C\) umstellen. Eine Möglichkeit ist, die Gleichungen so umzuformen, dass du \(C\) eliminierst, und dann die verbleibenden zwei Gleichungen verwendest, um \(A\) und \(B\) zu bestimmen.

4. **Bestimme die Koeffizienten**:
Nachdem du \(A\), \(B\) und \(C\) gefunden hast, hast du das interpolierende Polynom \(P(x)\), das durch die drei gegebenen Punkte verläuft.

Zusammengefasst: Du setzt die Punkte in die allgemeine Form des quadratischen Polynoms ein, erstellst ein Gleichungssystem und löst es, um die Koeffizienten zu bestimmen.