Zur Ermittlung von Nullstellen quadratischer Funktionen im Unterricht bieten sich verschiedene Aktivitäten an, die das Verständnis fördern und unterschiedliche Zugänge ermögli...
Berechne die Nullstellen von f(x) = x^4 - 5x^2 + 4.
Antwort vomUm die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) zu berechnen, setzen wir die Funktion gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Um diese Gleichung zu lösen, führen wir eine Substitution durch. Setze \( y = x^2 \). Dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Jetzt können wir die quadratische Formel verwenden, um \( y \) zu finden: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = -5 \) und \( c = 4 \): \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm 3}{2} \] Das ergibt zwei Lösungen für \( y \): 1. \( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \) 2. \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \) Jetzt setzen wir die Werte für \( y \) zurück in die Substitution \( y = x^2 \): 1. Für \( y_1 = 4 \): \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] 2. Für \( y_2 = 1 \): \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Die Nullstellen der Funktion \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) sind somit: \[ x = -2, -1, 1, 2 \]
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