Gesucht ist die kleinste Primzahl, die als Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen geschrieben werden kann. Bezeichne die drei aufeinanderfolgenden Zahlen als \( n-1 \), \( n \), \( n+1 \). D... [mehr]
n ∈ N. Behauptung: Ist n⁴ + 4 eine Primzahl, so ist n = 1. Vervollständige den Beweis.
AntwortUm die Behauptung zu beweisen, dass \( n^4 + 4 \) nur dann eine Primzahl ist, wenn \( n = 1 \), betrachten wir den Fall, wenn \( n > 1 \). Wir können \( n^4 + 4 \) umformen: \[ n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 \] Dies ist eine Differenz von Quadraten, die sich wie folgt faktorisieren lässt: \[ n^4 + 4 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n) \] Nun setzen wir \( p = n^4 + 4 \) und betrachten die beiden Faktoren: 1. \( n^2 + 2 - 2n \) 2. \( n^2 + 2 + 2n \) Für \( n > 1 \) sind beide Faktoren größer als 1: - Der erste Faktor \( n^2 + 2 - 2n = (n-2)^2 + 2 \) ist für \( n \geq 2 \) immer positiv und größer als 1. - Der zweite Faktor \( n^2 + 2 + 2n = (n+2)^2 \) ist ebenfalls für \( n \geq 2 \) immer positiv und größer als 1. Da beide Faktoren größer als 1 sind, ist das Produkt \( (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n) \) für \( n > 1 \) kein Primzahl, da eine Primzahl nur zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Somit folgt, dass \( n^4 + 4 \) nur dann eine Primzahl sein kann, wenn \( n = 1 \). Für \( n = 1 \) ergibt sich: \[ 1^4 + 4 = 1 + 4 = 5 \] 5 ist eine Primzahl. Daher ist die Behauptung bewiesen: Ist \( n^4 + 4 \) eine Primzahl, so muss \( n = 1 \) sein.
