Wie löst man die gegebene Matrix?

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet:

\[
\begin{pmatrix}
9 & 6 & -12 & 6 & | & 0 \\
6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\
0 &2 & 4 6 & | 0 \\
-3 & 4 & 7 & 18 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

Wir führen die folgenden Schritte durch:

1. **Zeilenoperationen durchführen**: Wir versuchen, die Matrix in eine einfachere Form zu bringen.

Zuerst teilen wir die erste Zeile durch 3, um die Berechnungen zu erleichtern:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\
6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\
0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\
-3 & 4 & 7 & 18 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

2. **Subtrahiere Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen**:

- Zeile 2: \( Z_2 - 2 \cdot Z_1 \)
- Zeile 4: \( Z_4 + Z_1 \)

Das ergibt:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\
0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\
0 & 6 & 3 & 20 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

3. **Die zweite Zeile ist jetzt \(0 = 0\)**, was bedeutet, dass sie keine neue Information liefert. Wir können uns auf die anderen Zeilen konzentrieren.

4. **Jetzt arbeiten wir mit den Zeilen 3 und 4**. Wir teilen die dritte Zeile durch 2:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\
0 & 6 & 3 & 20 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

5. **Subtrahiere 6-mal die dritte Zeile von der vierten Zeile**:

\[
Z_4 - 6 \cdot Z_3
\]

Das ergibt:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\
0 & 0 & -9 & 2 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

6. **Nun bringen wir die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform**. Wir können die vierte Zeile durch -1/9 teilen:

\[
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\
0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2/9 & | & 0
\end{pmatrix}
\]

7. **Jetzt können wir die Rücksubstitution durchführen**. Wir setzen die Variablen in Bezug auf die freien Variablen ein.

Die letzte Zeile gibt uns:

\[
z = \frac{2}{9}y
\]

Die dritte Zeile gibt uns:

\[
y + 2z + 3w = 0 \implies y + 2\left(\frac{2}{9}y\right) + 3w = 0 \implies y\left(1 + \frac{4}{9}\right) + 3w = 0 \implies \frac{13}{9}y + 3w = 0
\]

Das bedeutet:

\[
y = -\frac{27}{13}w
\]

Setzen wir \(y\) in die Gleichung für \(z\) ein:

\[
z = \frac{2}{9}\left(-\frac{27}{13}w\right) = -\frac{6