Beweise die Aussage m+n=n+m mit vollständiger Induktion über m bzw. n.

Um die Behauptung \( m + n = n + m \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, betrachten wir zwei Induktionsschritte: einen über \( m \) und einen über \( n \).

### Induktion über \( m \):

**Induktionsanfang:**
Für \( m = 0 \) gilt:
\[
0 + n = n = n + 0
\]
Die Basis ist also wahr.

**Induktionsschritt:**
Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges \( m \), d.h. \( m + n = n + m \) für alle \( n \). Wir zeigen nun, dass sie auch für \( m + 1 \) gilt.

\[
(m + 1) + n = (m + n) + 1
\]
Nach der Induktionsannahme gilt \( m + n = n + m \), also:
\[
(m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1)
\]
Somit haben wir:
\[
(m + 1) + n = n + (m + 1)
\]
Die Behauptung gilt also auch für \( m + 1 \).

### Induktion über \( n \):

**Induktionsanfang:**
Für \( n = 0 \) gilt:
\[
m + 0 = m = 0 + m
\]
Die Basis ist also wahr.

**Induktionsschritt:**
Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges \( n \), d.h. \( m + n = n + m \) für alle \( m \). Wir zeigen nun, dass sie auch für \( n + 1 \) gilt.

\[
m + (n + 1) = (m + n) + 1
\]
Nach der Induktionsannahme gilt \( m + n = n + m \), also:
\[
(m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1)
\]
Somit haben wir:
\[
m + (n + 1) = (n + 1) + m
\]
Die Behauptung gilt also auch für \( n + 1 \).

### Schlussfolgerung:
Da die Behauptung sowohl für \( m = 0 \) als auch für \( n = 0 \) gilt und die Induktionsschritte für \( m \) und \( n \) erfolgreich durchgeführt wurden, folgt, dass \( m + n = n + m \) für alle natürlichen Zahlen \( m \) und \( n \) gilt.