1 Frage zu Kommutativitaet

Um die Behauptung \( m + n = n + m \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, betrachten wir zwei Induktionsschritte: einen über \( m \) und einen über \( n \). ### Induktion über \( m \): **Induktionsanfang:** Für \( m = 0 \) gilt: \[ 0 + n = n = n + 0 \] Die Basis ist also wahr. **Induktionsschritt:** Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges \( m \), d.h. \( m + n = n + m \) für alle \( n \). Wir zeigen nun, dass sie auch für \( m + 1 \) gilt. \[ (m + 1) + n = (m + n) + 1 \] Nach der Induktionsannahme gilt \( m + n = n + m \), also: \[ (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1) \] Somit haben wir: \[ (m + 1) + n = n + (m + 1) \] Die Behauptung gilt also auch für \( m + 1 \). ### Induktion über \( n \): **Induktionsanfang:** Für \( n = 0 \) gilt: \[ m + 0 = m = 0 + m \] Die Basis ist also wahr. **Induktionsschritt:** Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges \( n \), d.h. \( m + n = n + m \) für alle \( m \). Wir zeigen nun, dass sie auch für \( n + 1 \) gilt. \[ m + (n + 1) = (m + n) + 1 \] Nach der Induktionsannahme gilt \( m + n = n + m \), also: \[ (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1) \] Somit haben wir: \[ m + (n + 1) = (n + 1) + m \] Die Behauptung gilt also auch für \( n + 1 \). ### Schlussfolgerung: Da die Behauptung sowohl für \( m = 0 \) als auch für \( n = 0 \) gilt und die Induktionsschritte für \( m \) und \( n \) erfolgreich durchgeführt wurden, folgt, dass \( m + n = n + m \) für alle natürlichen Zahlen \( m \) und \( n \) gilt.