Löse die folgende Gleichung: 5x^2 -13x -6 = 0?

Um die quadratische Gleichung \(5x^2 - 13x - 6 = 0\) zu lösen, kann die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) verwendet werden. Diese lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Für die gegebene Gleichung \(5x^2 - 13x - 6 = 0\) sind die Koeffizienten: - \(a = 5\) - \(b = -13\) - \(c = -6\) Setze diese Werte in die Mitternachtsformel ein: \[ x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6)}}{2 \cdot 5} \] Berechne die Diskriminante (\(b^2 - 4ac\)): \[ (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 \] Setze die Diskriminante in die Formel ein: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{10} \] Da \(\sqrt{289} = 17\), ergibt sich: \[ x = \frac{13 \pm 17}{10} \] Dies führt zu zwei Lösungen: 1. \( x = \frac{13 + 17}{10} = \frac{30}{10} = 3 \) 2. \( x = \frac{13 - 17}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4 \) Die Lösungen der Gleichung \(5x^2 - 13x - 6 = 0\) sind also: \[ x = 3 \quad \text{und} \quad x = -0,4 \]