Löse das folgende Gleichungssystem: x-2x-2x=1, 2x-y-2z=1, x-2y-z=2.

Um das Gleichungssystem zu lösen, betrachten wir die drei Gleichungen: 1. \( x - 2x - 2x = 1 \) 2. \( 2x - y - 2z = 1 \) 3. \( x - 2y - z = 2 \) Zuerst vereinfachen wir die erste Gleichung: 1. \( -3x = 1 \) Daraus folgt: \( x = -\frac{1}{3} \) Nun setzen wir \( x = -\frac{1}{3} \) in die anderen beiden Gleichungen ein. Für die zweite Gleichung: \( 2(-\frac{1}{3}) - y - 2z = 1 \) \( -\frac{2}{3} - y - 2z = 1 \) \( -y - 2z = 1 + \frac{2}{3} \) \( -y - 2z = \frac{5}{3} \) \( y + 2z = -\frac{5}{3} \) (Gleichung 4) Für die dritte Gleichung: \( -\frac{1}{3} - 2y - z = 2 \) \( -2y - z = 2 + \frac{1}{3} \) \( -2y - z = \frac{7}{3} \) \( 2y + z = -\frac{7}{3} \) (Gleichung 5) Jetzt haben wir ein neues Gleichungssystem mit den Gleichungen 4 und 5: 4. \( y + 2z = -\frac{5}{3} \) 5. \( 2y + z = -\frac{7}{3} \) Um dieses System zu lösen, können wir die Gleichung 4 nach \( y \) umstellen: \( y = -\frac{5}{3} - 2z \) Setzen wir \( y \) in die Gleichung 5 ein: \( 2(-\frac{5}{3} - 2z) + z = -\frac{7}{3} \) \( -\frac{10}{3} - 4z + z = -\frac{7}{3} \) \( -\frac{10}{3} - 3z = -\frac{7}{3} \) \( -3z = -\frac{7}{3} + \frac{10}{3} \) \( -3z = \frac{3}{3} \) \( -3z = 1 \) \( z = -\frac{1}{3} \) Jetzt setzen wir \( z = -\frac{1}{3} \) in die Gleichung 4 ein, um \( y \) zu finden: \( y + 2(-\frac{1}{3}) = -\frac{5}{3} \) \( y - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3} \) \( y = -\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \) \( y = -\frac{3}{3} \) \( y = -1 \) Zusammenfassend haben wir die Lösungen: \( x = -\frac{1}{3} \) \( y = -1 \) \( z = -\frac{1}{3} \) Das Lösungstriple ist also \( (x, y, z) = \left(-\frac{1}{3}, -1, -\frac{1}{3}\right) \).