Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Löse die Gleichung z^3 = sqrt(2) + sqrt(2)i mit Polarkoordinaten.
Antwort vomUm die Gleichung \( z^3 = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \) in Polarkoordinaten zu lösen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimme den Betrag und den Winkel** der komplexen Zahl \( \sqrt{2} + \sqrt{2} i \). Betrag \( r \) ist gegeben durch: \[ r = |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2. \] Der Winkel \( \theta \) (Argument) ist: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}. \] Somit kann die Zahl in Polarkoordinaten als \( 2 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) geschrieben werden, wobei \( \text{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta \). 2. **Setze die Gleichung in Polarkoordinaten**: \[ z^3 = 2 \text{cis} \frac{\pi}{4}. \] 3. **Bestimme \( z \)**: Um \( z \) zu finden, nehmen wir die dritte Wurzel: \[ z = \sqrt[3]{2} \text{cis} \left(\frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2. \] Der Betrag von \( z \) ist: \[ |z| = \sqrt[3]{2}. \] Die Winkel für die verschiedenen Werte von \( k \) sind: - Für \( k = 0 \): \[ \theta_0 = \frac{\frac{\pi}{4}}{3} = \frac{\pi}{12}. \] - Für \( k = 1 \): \[ \theta_1 = \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}. \] - Für \( k = 2 \): \[ \theta_2 = \frac{\frac{\pi}{4} + 4\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}. \] 4. **Schreibe die Lösungen**: Die Lösungen für \( z \) sind somit: \[ z_0 = \sqrt[3]{2} \text{cis} \frac{\pi}{12}, \] \[ z_1 = \sqrt[3]{2} \text{cis} \frac{11\pi}{12}, \] \[ z_2 = \sqrt[3]{2} \text{cis} \frac{19\pi}{12}. \] Diese drei Werte sind die Lösungen der Gleichung \( z^3 = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \).
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