Die Fläche \( A \) eines Kreises berechnest du mit der Formel: \[ A = \pi \cdot r^2 \] Dabei ist \( r \) der Radius des Kreises und \( \pi \) (Pi) eine mathematische Konstante, ungefähr 3,...
Wie entsteht die Kreisvolumenformel?
Antwort vomEin Kreis hat kein Volumen, da er eine zweidimensionale geometrische Figur ist. Volumen ist eine Eigenschaft von dreidimensionalen Objekten. Wenn du jedoch das Volumen einer Kugel (eines dreidimensionalen Objekts) meinst, kann ich dir die Formel und deren Herleitung erklären. Die Volumenformel einer Kugel lautet: \[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \] Hier ist \( r \) der Radius der Kugel. Die Herleitung dieser Formel erfolgt durch Integration. Man kann sich die Kugel als eine Ansammlung von unendlich vielen dünnen Scheiben (Zylindern) vorstellen, die übereinander gestapelt sind. Das Volumen jeder dieser Scheiben kann durch die Fläche des Kreises (Querschnittsfläche) und die Dicke der Scheibe berechnet werden. 1. Betrachte eine Kugel mit Radius \( r \). 2. Eine Scheibe in der Höhe \( z \) hat einen Radius \( \sqrt{r^2 - z^2} \) (aus dem Satz des Pythagoras). 3. Die Fläche dieser Scheibe ist \( \pi (\sqrt{r^2 - z^2})^2 = \pi (r^2 - z^2) \). 4. Das Volumen einer dünnen Scheibe mit Dicke \( dz \) ist \( \pi (r^2 - z^2) dz \). 5. Integriere diese Volumina von \( -r \) bis \( r \): \[ V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - z^2) dz \] 6. Diese Integration ergibt: \[ V = \pi \left[ r^2z - \frac{z^3}{3} \right]_{-r}^{r} \] 7. Setze die Grenzen ein: \[ V = \pi \left( r^3 - \frac{r^3}{3} - (-r^3 + \frac{r^3}{3}) \right) \] 8. Das vereinfacht sich zu: \[ V = \pi \left( \frac{2r^3}{3} + \frac{2r^3}{3} \right) = \frac{4}{3} \pi r^3 \] So erhält man die Volumenformel der Kugel.
Verwandte Fragen
Wann wurde die Zahl Pi entdeckt?
π wurde nicht an einem einzelnen Datum „entdeckt“, sondern schrittweise über viele Kulturen hinweg erkannt und immer genauer berechnet: - **Babylonien (ca. 1900–1600 v. Chr....
Wie lautet die Gauß-Formel zur Berechnung des Wochentags?
Die Gaußsche Wochentagsformel (auch bekannt als Zellers Kongruenz) ist eine mathematische Methode, um den Wochentag für ein beliebiges Datum zu berechnen. Hier ist die Formel für das g...
Warum wird ein Kreis in 360 Grad unterteilt?
Die Einteilung des Kreises in 360 Grad stammt aus der babylonischen Mathematik und Astronomie. Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimalsystem, also ein Zahlensystem zur Basis 60. Es wird angenommen,...
Kann ein Kreis einen negativen Radius haben?
Nein, ein Kreis kann keinen negativen (Minus-)Radius haben. Der Radius eines Kreises ist per Definition der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises und dieser Abstand ist immer...
Wie funktioniert die Flächenberechnung?
Die Flächenberechnung hängt von der Form ab, die du berechnen möchtest. Hier sind die Formeln für einige häufige geometrische Figuren: **1. Rechteck:** Fläche = Lä...
Wie berechnet man Flächen?
Die Flächenberechnung hängt von der Form ab, die du berechnen möchtest. Hier sind die Formeln für einige häufige geometrische Figuren: **Rechteck:** Fläche = Läng...
Worin unterscheidet sich die Kurvenerzeugung der Parabel y=x^2 von der des Kreises y=(r^2-x^2)^{1/2}, sodass Euklid sie nicht zulässt?
Die Unterschiede in der Kurvenerzeugung zwischen der Parabel \( y = x^2 \) und dem Kreis \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) liegen in den Prinzipien der klassischen euklidischen Geometrie, wie sie Euklid in s...
Wie berechnet man, wie viele Schachteln mit den Maßen l x b x h optimal in einen Packkarton mit den Maßen L x B x H in Zentimeter passen?
Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) optimal in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt...
Wie berechnet man, wie viele Schachteln mit l x b x h cm in einen Karton mit l x b x h cm passen?
Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt du folge...
