Wie lang sind die Kanten eines Würfels, wenn das Volumen des neuen Würfels 1115 cm³ kleiner ist, nachdem alle Kanten um 5 cm verkürzt wurden?

Sei \( x \) die Länge der Kanten des ursprünglichen Würfels. Das Volumen des ursprünglichen Würfels ist dann \( V_1 = x^3 \).

Wenn die Kanten um 5 cm verkürzt werden, beträgt die neue Kantenlänge \( x - 5 \) cm. Das Volumen des neuen Würfels ist \( V_2 = (x - 5)^3 \).

Laut der Aufgabenstellung ist das Volumen des neuen Würfels 1115 cm³ kleiner als das Volumen des ursprünglichen Würfels:

\[
V_1 - V_2 = 1115
\]

Das ergibt die Gleichung:

\[
x^3 - (x - 5)^3 = 1115
\]

Nun berechnen wir \( (x - 5)^3 \):

\[
(x - 5)^3 = x^3 - 15x^2 + 75x - 125
\]

Setzen wir dies in die Gleichung ein:

\[
x^3 - (x^3 - 15x^2 + 75x - 125) = 1115
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
15x^2 - 75x + 125 = 1115
\]

Subtrahiere 1115 von beiden Seiten:

\[
15x^2 - 75x + 125 - 1115 = 0
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
15x^2 - 75x - 990 = 0
\]

Teile die gesamte Gleichung durch 15:

\[
x^2 - 5x - 66 = 0
\]

Nun verwenden wir die Mitternachtsformel zur Lösung der quadratischen Gleichung:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = 1 \), \( b = -5 \), und \( c = -66 \):

\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 264}}{2}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{2}
\]
\[
x = \frac{5 \pm 17}{2}
\]

Das ergibt zwei Lösungen:

1. \( x = \frac{22}{2} = 11 \)
2. \( x = \frac{-12}{2} = -6 \) (nicht sinnvoll, da Kantenlängen positiv sein müssen)

Somit ist die Länge der Kanten des ursprünglichen Würfels \( 11 \) cm.