Ist das Produkt gleich eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung?

Question

Ist das Produkt gleich eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung?

Antwort

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Was ist der Unterschied zwischen einer Relation und einer Zuordnung?

Welche zehn Alltagssituationen verdeutlichen in je einem Satz Proportionalität und Antiproportionalität?

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Wie berechnet man das Produkt aus 4 und 70, das Produkt aus 90 und 3 sowie den zweiten Faktor, wenn das Produkt 420 und der erste Faktor 6 ist?

Welcher zweite Faktor ergibt mit 6 das Produkt 420?

Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)…(n-k+1) mit n! zusammen?

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Das Produktgleich ist eine proportionale Zuordnung. Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt das Verhältnis zwischen den beiden Größen konstant. Wenn eine Größe steigt, steigt die andere ebenfalls im gleichen Verhältnis. Bei einer antiproportionalen Zuordnung hingegen würde eine Größe, während die andere sink, sodass das Produkt konstant bleibt.

Accepted Answer

Eine **Relation** und eine **Zuordnung** sind Begriffe aus der Mathematik, die sich auf die Verbindung zwischen Elementen zweier Mengen beziehen, aber sie unterscheiden sich in ihrer Strenge und Bedeu... [mehr]

Accepted Answer

Eine **Relation** und eine **Zuordnung** sind Begriffe aus der Mathematik, die sich auf die Verbindung zwischen Elementen zweier Mengen beziehen, aber sie unterscheiden sich in ihrer Strenge und Bedeutung: **Relation:** - Eine Relation zwischen zwei Mengen \(A\) und \(B\) ist eine beliebige Menge von geordneten Paaren \((a, b)\), wobei \(a \in A\) und \(b \in B\) ist. - Es können also mehrere Paare mit demselben \(a\) oder demselben \(b\) vorkommen. - Beispiel: Die Relation „ist größer als“ zwischen den Zahlenmengen \(\{1,2,3\}\) und \(\{2,3,4\}\) enthält z.B. die Paare \((2,3)\), \((3,2)\), \((3,4)\). **Zuordnung (Funktion/Abbildung):** - Eine Zuordnung (meist Funktion oder Abbildung genannt) ist eine spezielle Art von Relation. - Jedem Element \(a\) aus der Ausgangsmenge \(A\) wird **genau ein** Element \(b\) aus der Zielmenge \(B\) zugeordnet. - Es gibt also keine zwei Paare \((a, b_1)\) und \((a, b_2)\) mit \(b_1 \neq b_2\). - Beispiel: Die Funktion \(f(x) = x^2\) ordnet jeder Zahl \(x\) genau eine Zahl \(x^2\) zu. **Zusammengefasst:** - **Jede Zuordnung ist eine Relation, aber nicht jede Relation ist eine Zuordnung.** - Eine Relation kann beliebige Verbindungen zwischen den Mengen enthalten, eine Zuordnung ist eindeutig und ordnet jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zu.

Accepted Answer

1. Je mehr Personen an einem Kuchen essen, desto kleiner wird das Kuchenstück für jeden (antiproportional). 2. Je schneller du fährst, desto kürzer dauert die Fahrt (antiproporti... [mehr]

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1. Je mehr Personen an einem Kuchen essen, desto kleiner wird das Kuchenstück für jeden (antiproportional). 2. Je schneller du fährst, desto kürzer dauert die Fahrt (antiproportional). 3. Je mehr Wasser du in einen Farbstoff gibst, desto heller wird die Farbe (antiproportional). 4. Je mehr Arbeiter an einem Haus bauen, desto schneller ist es fertig (antiproportional). 5. Je mehr Seiten du in einer Stunde liest, desto weniger Zeit brauchst du für das Buch (antiproportional). 6. Je mehr Geld du pro Stunde verdienst, desto weniger Stunden musst du für einen festen Betrag arbeiten (antiproportional). 7. Je mehr Kilometer du fährst, desto mehr Benzin verbrauchst du (proportional). 8. Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr musst du bezahlen (proportional). 9. Je länger du telefonierst, desto höher wird die Telefonrechnung (proportional). 10. Je mehr Stunden du arbeitest, desto mehr Lohn bekommst du (proportional).

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Hier sind Beispiele für Alltagssituationen, in denen proportionale und antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zusammenhänge vorkommen: **Proportionale Situation:** Je mehr Äpfel d... [mehr]

Accepted Answer

Hier sind Beispiele für Alltagssituationen, in denen proportionale und antiproportionale (umgekehrt proportionale) Zusammenhänge vorkommen: **Proportionale Situation:** Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr musst du bezahlen (bei gleichem Stückpreis). Beispiel: 1 Apfel kostet 0,50 €. 2 Äpfel kosten 1 €, 3 Äpfel kosten 1,50 € usw. **Antiproportionale (umgekehrt proportionale) Situation:** Je mehr Personen an einer Aufgabe arbeiten, desto weniger Zeit braucht jede Person, um die Aufgabe gemeinsam zu erledigen (bei gleichmäßiger Arbeitsteilung). Beispiel: Eine Aufgabe dauert alleine 4 Stunden. Zu zweit dauert sie 2 Stunden, zu viert nur 1 Stunde. **Zusammengefasst:** - **Proportional:** Mehr von A → mehr von B (z. B. Menge und Preis) - **Antiproportional:** Mehr von A → weniger von B (z. B. Personen und benötigte Zeit) Weitere Infos zu diesen Zusammenhängen findest du z. B. auf [Serlo Mathematik](https://de.serlo.org/mathe/1552/proportionalitaet-und-antiproportionalitaet).

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A) 4 mal 70 ergibt 280. Das Produkt heißt 280. B) 90 mal 3 ergibt 270. Das Produkt ist 270. C) Das Produkt ist 420, der erste Faktor ist 6. Der zweite Faktor ist 420 geteilt durch 6 also 70.

Accepted Answer

A) 4 mal 70 ergibt 280. Das Produkt heißt 280. B) 90 mal 3 ergibt 270. Das Produkt ist 270. C) Das Produkt ist 420, der erste Faktor ist 6. Der zweite Faktor ist 420 geteilt durch 6 also 70.

Kategorie: Mathematik Tags: Produkt Multiplikation Faktor

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Gegeben ist das Produkt 420 und der erste Faktor 6. Gesucht ist der zweite Faktor. Rechnung: \( 6 \times ? = 420 \) Um den zweiten Faktor zu berechnen, teilst du das Produkt durch den ersten Faktor:... [mehr]

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Gegeben ist das Produkt 420 und der erste Faktor 6. Gesucht ist der zweite Faktor. Rechnung: \( 6 \times ? = 420 \) Um den zweiten Faktor zu berechnen, teilst du das Produkt durch den ersten Faktor: \( ? = \frac{420}{6} = 70 \) **Lösung:** Der zweite Faktor ist **70**.

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Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreib... [mehr]

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Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreibe die Produktform explizit aus:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\). --- **2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:** \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:** \[ (n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:** \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1} \] --- **5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:** Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}} \] --- **6. Übrig bleibt:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] --- **Fazit:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die gesuchte Umformung.

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeite... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, \( k \) verschiedene Objekte aus \( n \) zu ziehen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (Variationen ohne Zurücklegen). Der Ausdruck \( n! \) (gesprochen: „n Fakultät“) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) abwärts bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) auf \( n! \) zu kommen, multiplizierst du einfach die restlichen Faktoren bis 1 dazu. Das heißt: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Oder anders geschrieben: \[ n! = [n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)] \cdot (n-k)! \] Daraus folgt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die Formel für die Anzahl der Permutationen von \( k \) aus \( n \) Elementen. **Zusammengefasst:** Du kommst auf \( n! \), indem du zu deinem Produkt die restlichen Faktoren bis 1 dazunimmst. Das Produkt bis \( (n-k+1) \) ist also ein Teil von \( n! \).

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Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)…(n-k+1) mit n! zusammen?