Homomorphismus einfach erklärt mit Beispiel.

Ein Homomorphismus ist eine Struktur erhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen, wie Gruppen, Ringen oder Vektorräumen. Um das Konzept einfach zu erklären, betrachten wir ein Beispiel mit Gruppen.

Nehmen wir die Gruppe \( G = (\mathbb{Z}, +) \), die die ganzen Zahlen unter der Addition darstellt, und die Gruppe \( H = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +) \), die die ganzen Zahlen modulo 2 unter der Addition darstellt.

Ein möglicher Homomorphismus \( f: G \to H \) könnte definiert sein als:

\[ f(x) = x \mod 2 \]

Das bedeutet, dass du für jede ganze Zahl \( x \) den Rest bei der Division durch 2 nimmst.

Jetzt überprüfen wir, ob \( f \) ein Homomorphismus ist. Das bedeutet, dass für alle \( a, b \in G \) gilt:

\[ f(a + b) = f(a) + f(b) \]

Nehmen wir zwei beliebige ganze Zahlen \( a \) und \( b \):

1. Berechne \( f(a + b) \):
\[ f(a + b) = (a + b) \mod 2 \]

2. Berechne \( f(a) + f(b) \):
\[ f(a) + f(b) = (a \mod 2) + (b \mod 2) \]

Da die Addition modulo 2 die gleiche Regel wie die Addition der ganzen Zahlen befolgt, gilt:

\[ (a + b) \mod 2 = (a \mod 2 + b \mod 2) \mod 2 \]

Somit ist \( f(a + b) = f(a) + f(b) \), und damit ist \( f \) ein Homomorphismus.

Zusammenfassend ist ein Homomorphismus eine Abbildung, die die Struktur der algebraischen Objekte respektiert, und in diesem Beispiel zeigt die Funktion \( f \), wie die Addition der ganzen Zahlen in die Addition der Zahlen modulo 2 überführt wird.