Bestimme die Häufungspunkte der Menge {1/n + 2/m: m,n € N}.

Um die Häufungspunkte der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) zu bestimmen, betrachten wir die Ausdrücke \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \).

1. **Untersuchung der Grenzwerte:**
- Wenn \( n \to \infty \), dann \( \frac{1}{n} \to 0 \).
- Wenn \( m \to \infty \), dann \( \frac{2}{m} \to 0 \).

Daraus folgt, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \to 0 \), wenn sowohl \( n \) als auch \( m \) gegen unendlich gehen.

2. **Häufungspunkte:**
- Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, in dessen Umgebung unendlich viele Elemente der Menge liegen.
- Da \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) beliebig klein werden kann, aber nie genau 0 erreicht, ist 0 ein Häufungspunkt.

3. **Weitere mögliche Häufungspunkte:**
- Betrachten wir die Menge genauer: Für jedes feste \( n \) und \( m \), ist \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) ein positiver Wert.
- Da \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) beide gegen 0 konvergieren, können wir jede positive Zahl \( x \) als Summe von zwei positiven Zahlen \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) darstellen, die gegen 0 gehen.

4. **Beweis der Häufungspunkte:**
- Sei \( x \) ein beliebiger positiver Wert. Wir können \( x \) als \( x = \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für geeignete \( n \) und \( m \) schreiben.
- Für jede positive Zahl \( x \), wähle \( n \) und \( m \) so, dass \( \frac{1}{n} \approx x/2 \) und \( \frac{2}{m} \approx x/2 \). Da \( n \) und \( m \) natürliche Zahlen sind, können wir \( n \) und \( m \) so wählen, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) beliebig nahe an \( x \) kommt.

Daraus folgt, dass jede positive Zahl ein Häufungspunkt der Menge ist.

**Zusammenfassung:**
Die Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) hat als Häufungspunkte alle positiven reellen Zahlen.