Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Der Graph von g mit g(x)= ae^-x+b verläuft durch die Punkte A(0|4) und B(1|2). Bestimmen Sie a und b.
Antwort vomUm die Werte von \( a \) und \( b \) zu bestimmen, setze die Koordinaten der Punkte \( A(0|4) \) und \( B(1|2) \) in die Funktion \( g(x) = ae^{-x} + b \) ein. 1. Setze den Punkt \( A(0|4) \) in die Funktion ein: \[ g(0) = a e^0 + b = a + b = 4 \] 2. Setze den Punkt \( B(1|2) \) in die Funktion ein: \[ g(1) = a e^{-1} + b = \frac{a}{e} + b = 2 \] Nun hast du das folgende Gleichungssystem: \[ a + b = 4 \] \[ \frac{a}{e} + b = 2 \] Löse die erste Gleichung nach \( b \) auf: \[ b = 4 - a \] Setze diesen Ausdruck für \( b \) in die zweite Gleichung ein: \[ \frac{a}{e} + (4 - a) = 2 \] Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( e \), um den Bruch zu eliminieren: \[ a + 4e - ae = 2e \] Fasse die Terme zusammen: \[ a(1 - e) + 4e = 2e \] Isoliere \( a \): \[ a(1 - e) = 2e - 4e \] \[ a(1 - e) = -2e \] \[ a = \frac{-2e}{1 - e} \] Setze \( a \) in die Gleichung \( b = 4 - a \) ein: \[ b = 4 - \frac{-2e}{1 - e} \] \[ b = 4 + \frac{2e}{e - 1} \] Um die Werte von \( a \) und \( b \) zu vereinfachen, beachte, dass \( e \approx 2. \). Die exakten Werte sind: \[ a = \frac{-2e}{1 - e} \] \[ b = 4 + \frac{2e}{e - 1} \] Diese Werte für \( a \) und \( b \) erfüllen die Bedingungen der gegebenen Punkte.
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