Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Der Graph von g mit g(x)= ae^-x+b verläuft durch die Punkte A(0|4) und B(1|2). Bestimmen Sie a und b.
Antwort vomUm die Werte von \( a \) und \( b \) zu bestimmen, setze die Koordinaten der Punkte \( A(0|4) \) und \( B(1|2) \) in die Funktion \( g(x) = ae^{-x} + b \) ein. 1. Setze den Punkt \( A(0|4) \) in die Funktion ein: \[ g(0) = a e^0 + b = a + b = 4 \] 2. Setze den Punkt \( B(1|2) \) in die Funktion ein: \[ g(1) = a e^{-1} + b = \frac{a}{e} + b = 2 \] Nun hast du das folgende Gleichungssystem: \[ a + b = 4 \] \[ \frac{a}{e} + b = 2 \] Löse die erste Gleichung nach \( b \) auf: \[ b = 4 - a \] Setze diesen Ausdruck für \( b \) in die zweite Gleichung ein: \[ \frac{a}{e} + (4 - a) = 2 \] Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( e \), um den Bruch zu eliminieren: \[ a + 4e - ae = 2e \] Fasse die Terme zusammen: \[ a(1 - e) + 4e = 2e \] Isoliere \( a \): \[ a(1 - e) = 2e - 4e \] \[ a(1 - e) = -2e \] \[ a = \frac{-2e}{1 - e} \] Setze \( a \) in die Gleichung \( b = 4 - a \) ein: \[ b = 4 - \frac{-2e}{1 - e} \] \[ b = 4 + \frac{2e}{e - 1} \] Um die Werte von \( a \) und \( b \) zu vereinfachen, beachte, dass \( e \approx 2. \). Die exakten Werte sind: \[ a = \frac{-2e}{1 - e} \] \[ b = 4 + \frac{2e}{e - 1} \] Diese Werte für \( a \) und \( b \) erfüllen die Bedingungen der gegebenen Punkte.
Verwandte Fragen
Wie vereinfacht man e^ln(b)?
\(e^{\ln(b)} = b\) — aber nur für \(b>0\), weil \(\ln(b)\) nur für positive reelle Zahlen definiert ist.
Vereinfacht sich ln(e^a)?
ln(e^a) = a — vorausgesetzt, es ist wirklich e^a gemeint. Dann heben sich natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion direkt gegenseitig auf.
Welche Funktion ergibt die Eulersche Zahl e?
Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Wie leitet man e^x + 7 ab?
Die Ableitung von \(e^x + 7\) ist \(e^x\), weil die Konstante 7 beim Ableiten wegfällt.
Fläche unter f(x)=sin(x)+2 im Intervall von -π bis 1 berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Exponentielles Wachstum: Wie lautet der Funktionsterm f(t) mit Basis e bei f(0)=8 und f(1)=12?
Bei exponentiellem Wachstum mit Basis \(e\) gilt allgemein: \[ f(t)=c \cdot e^{kt} \] Aus \(f(0)=8\) folgt: \[ 8=c \cdot e^{0}=c \] also \(c=8\). Aus \(f(1)=12\) folgt: \[ 12=8e^k \] \[ \frac{1...
Wie berechnet man 96 % von 27 Punkten?
Der Prozentwert wird so berechnet: Prozentwert = Grundwert × Prozentsatz Hier: Grundwert = 27 Prozentsatz = 96 % = 0,96 Rechnung: 27 × 0,96 = 25,92 96 % von 27 Punkten sind 25,92 Punk...
Berechne die Ableitung f'(x) von f(x) = (x-1)^2.
Gegeben \(f(x)=(x-1)^2\). Ableiten (Kettenregel): \[ f'(x)=2(x-1)\cdot 1=2(x-1)=2x-2. \]
Wie rechnet man y = f(x) in x = f(y) um?
Um aus \(y=f(x)\) eine Darstellung \(x=f(y)\) zu machen, löst man die Gleichung nach \(x\) auf und ersetzt danach (falls gewünscht) die Variable \(y\) wieder durch \(x\). Das ist genau das B...
