Löse die folgende Gleichung: 2x^2 - 30x + 108 = 0

Um die quadratische Gleichung \(2x^2 - 30x + 108 = 0\) zu lösen, kann die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel) verwendet werden. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist \(ax^2 + bx + c = 0\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) Konstanten sind.

In diesem Fall sind:
- \(a = 2\)
- \(b = -30\)
- \(c = 108\)

Die Mitternachtsformel lautet:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Setze die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) in die Formel ein:

1. Berechne den Diskriminanten:
\[b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 108\]
\[= 900 - 864\]
\[= 36\]

2. Setze den Diskriminanten in die Mitternachtsformel ein:
\[x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 2}\]
\[= \frac{30 \pm 6}{4}\]

3. Berechne die beiden möglichen Lösungen:
\[x_1 = \frac{30 + 6}{4} = \frac{36}{4} = 9\]
\[x_2 = \frac{30 - 6}{4} = \frac{24}{4} = 6\]

Die Lösungen der Gleichung \(2x^2 - 30x + 108 = 0\) sind also:
\[x = 9 \quad \text{und} \quad x = 6\]