Die gesuchte Funktion ist die Exponentialfunktion: \(e^x\). Setzt du \(x=1\), erhältst du die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Oft meint man auch speziell die Grenzwert-Darstellung: \[ e...
Begründe, dass die Funktion f mit f(x) = x² + 2 in der faktorisierten Form gegeben ist. Gib ihre Nullstellen an?
Antwort vomUm die Funktion \( f(x) = x^2 + 2 \) in faktorisierter Form darzustellen, müssen wir zunächst die Nullstellen der Funktion finden. Eine Funktion ist in faktorisierter Form, wenn sie als Produkt von Faktoren dargestellt werden kann. 1. **Nullstellen finden:** Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion gleich null: \[ f(x) = x^2 + 2 = 0 \] Dies führt zu: \[ x^2 = -2 \] Da die Gleichung \( x^2 = -2 \) keine reellen Lösungen hat (da das Quadrat einer reellen Zahl immer nicht-negativ ist), können wir die Lösungen in den komplexen Zahlen finden: \[ x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2} \] Die Nullstellen der Funktion sind also \( x_1 = i\sqrt{2} \) und \( x_2 = -i\sqrt{2} \). 2. **Faktorisierte Form:** Da die Nullstellen \( i\sqrt{2} \) und \( -i\sqrt{2} \) sind, kann die Funktion in faktorisierter Form wie folgt geschrieben werden: \[ f(x) = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2}) \] Dies entspricht der Form \( f(x) = (x - r_1)(x - r_2) \), wobei \( r_1 \) und \( r_2 \) die Nullstellen sind. Zusammenfassend ist die Funktion \( f(x) = x^2 + 2 \) in faktorisierter Form gegeben durch \( f(x) = (x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2}) \) und die Nullstellen sind \( i\sqrt{2} \) und \( -i\sqrt{2} \).
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