Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen können mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 gebildet werden, wenn Wiederholung von Ziffern ausgeschlossen ist?

Question

Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen können mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 gebildet werden, wenn Wiederholung von Ziffern ausgeschlossen ist?

Antwort

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Um die Anzahl der fünfstelligen natürlichen Zahlen zu bestimmen, die mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gebildet werden können, wobei Wiederholungen ausgeschlossen sind, gehen wir wie folgt vor: 1. **Erste Ziffer**: Für die erste Ziffer gibt es 6 Möglichkeiten (1, 2, 3, 4, 5 oder 6). 2. **Zweite Ziffer**: Da die erste Ziffer bereits gewählt wurde, bleiben für die zweite Ziffer 5 Möglichkeiten. 3. **Dritte Ziffer**: Für die dritte Ziffer bleiben 4 Möglichkeiten, da zwei Ziffern bereits verwendet wurden. 4. **Vierte Ziffer**: Für die vierte Ziffer bleiben 3 Möglichkeiten. 5. **Fünfte Ziffer**: Für die fünfte Ziffer bleiben 2 Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl der möglichen fünfstelligen Zahlen ergibt sich aus der Multiplikation der Möglichkeiten: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] Es können also 720 verschiedene fünfstellige natürliche Zahlen mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gebildet werden, wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind.

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93.008.521

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93.008.521

Kategorie: Mathematik Tags: Zahlen Millionen Schreibweise

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Drei plus vier ergibt sieben.

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Drei plus vier ergibt sieben.

Kategorie: Mathematik Tags: Addition Mathematik Zahlen

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).

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Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

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Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie beschreibt eine Aggregationsfunktion, deren Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Eingabeelemente ist. **Konkret bedeutet das:** Wenn du eine Menge von Elementen hast und eine Aggregationsfunktion darauf anwendest, ist das Ergebnis immer gleich, egal in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind. **Beispiel:** - Die Summe einer Menge {a, b, c} ist a + b + c, egal ob du die Elemente als (a, b, c), (b, c, a) oder (c, a, b) anordnest. - Das Maximum oder Minimum einer Menge ist ebenfalls unabhängig von der Reihenfolge. **Mathematisch:** Eine Funktion \( f \) ist permutationsinvariant, wenn für jede Permutation \( \pi \) gilt: \[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, ..., x_{\pi(n)}) \] **Anwendung:** In neuronalen Netzen, die mit Mengen arbeiten (z.B. PointNet für Punktwolken), werden oft solche Aggregationsfunktionen (wie Summe, Mittelwert, Maximum) verwendet, um sicherzustellen, dass das Netzwerk nicht von der Reihenfolge der Eingabedaten beeinflusst wird. **Zusammengefasst:** Eine permutationsinvariante Aggregation ist eine Methode, mehrere Werte so zusammenzufassen, dass das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Werte abhängt.

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Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren, muss zunächst geklärt werden, ob die Reihenfolge der Emojis eine Rolle spielt: - **Ohne Reihenfolge** (Kombination): Es geht nur darum, welche Emojis ausgewählt werden, nicht in welcher Reihenfolge. - **Mit Reihenfolge** (Variation/Permutation): Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Emojis angeordnet sind. Da in der Frage von „kombinieren“ die Rede ist, wird üblicherweise die **Kombination ohne Reihenfolge** gemeint. ### Anzahl der Möglichkeiten (Kombination ohne Reihenfolge) Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Emojis aus 32 auszuwählen, berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten: \[ \binom{32}{3} = \frac{32!}{3! \cdot (32-3)!} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30}{6} = 4960 \] **Es gibt also 4.960 verschiedene Möglichkeiten, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren.** --- ### Baumdiagramm Ein Baumdiagramm für diese Auswahl würde wie folgt aussehen: 1. **Stufe 1:** 32 Äste (für jedes mögliche erste Emoji) 2. **Stufe 2:** Von jedem Ast der ersten Stufe gehen 31 Äste ab (für jedes verbleibende Emoji) 3. **Stufe 3:** Von jedem Ast der zweiten Stufe gehen 30 Äste ab (für jedes verbleibende Emoji) Da die Reihenfolge bei Kombinationen keine Rolle spielt, würde das Baumdiagramm alle möglichen Auswahlen zeigen, aber jede Kombination mehrfach (für jede Reihenfolge). Um nur die Kombinationen zu zeigen, müsste man das Baumdiagramm so anlegen, dass man z.B. immer nur Emojis auswählt, die im Alphabet (oder einer anderen Ordnung) nach dem vorherigen liegen. **Ein vollständiges Baumdiagramm für 32 Emojis und 3 Auswahlen wäre sehr groß und unübersichtlich.** Für eine kleine Anzahl (z.B. 4 Emojis) sähe es so aus: ``` Emoji 1 ├─ Emoji 2 │ └─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 ├─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 Emoji 2 ├─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 Emoji 3 └─ Emoji 4 ``` Für 32 Emojis ist das Prinzip dasselbe, aber mit viel mehr Ästen. --- **Zusammenfassung:** - Es gibt **4.960 Möglichkeiten**, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren (ohne Reihenfolge). - Ein vollständiges Baumdiagramm ist sehr groß, das Prinzip ist aber wie oben beschrieben.

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Hier sind die Zerlegungen der Zahlen in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer: a) 5816 = 5000 + 800 + 10 + 6 1495 = 1000 + 400 + 90 + 5 7238 = 7000 + 200 + 30 + 8 4187 = 4000 + 100 + 80 + 7 b) 9251 = 9000 + 200 + 50 + 1 9948 = 9000 + 900 + 40 + 8 6717 = 6000 + 700 + 10 + 7 2864 = 2000 + 800 + 60 + 4

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1 plus 293492841 ergibt 293492842.

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1 plus 293492841 ergibt 293492842.

Kategorie: Mathematik Tags: Addition Zahlen Ergebnis

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fal... [mehr]

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fallende Faktorielle** bezeichnet. Die **Fakultät** von \( n \), geschrieben als \( n! \), ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von deinem Ausdruck auf \( n! \) zu kommen, beachte Folgendes: - Dein Ausdruck hat nur \( k \) Faktoren, nämlich von \( n \) bis \( n-k+1 \). - \( n! \) hat aber alle Faktoren von \( n \) bis 1. Man kann deinen Ausdruck als Bruch von zwei Fakultäten schreiben: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] **Begründung:** Wenn du \( n! \) ausschreibst, hast du: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 \] Wenn du durch \( (n-k)! \) teilst, kürzt sich der hintere Teil weg: \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \] **Zusammenfassung:** Dein Produkt ist ein Teil von \( n! \). Wenn du alle Faktoren von \( n \) bis 1 haben willst, also \( n! \), musst du noch mit den fehlenden Faktoren multiplizieren, oder du schreibst es als Bruch: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)! \] bzw. \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

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Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 445 und 1000 ist 5.

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Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 445 und 1000 ist 5.

Kategorie: Mathematik Tags: Gemeinsamer Teiler Zahlen

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