Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen können mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 gebildet werden, wenn Wiederholung von Ziffern ausgeschlossen ist?

Question

Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen können mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 gebildet werden, wenn Wiederholung von Ziffern ausgeschlossen ist?

Antwort

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Wie sind die Begriffe Wiederholung und Reihenfolge bei Permutationen definiert?

Accepted Answer

Um die Anzahl der fünfstelligen natürlichen Zahlen zu bestimmen, die mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gebildet werden können, wobei Wiederholungen ausgeschlossen sind, gehen wir wie folgt vor: 1. **Erste Ziffer**: Für die erste Ziffer gibt es 6 Möglichkeiten (1, 2, 3, 4, 5 oder 6). 2. **Zweite Ziffer**: Da die erste Ziffer bereits gewählt wurde, bleiben für die zweite Ziffer 5 Möglichkeiten. 3. **Dritte Ziffer**: Für die dritte Ziffer bleiben 4 Möglichkeiten, da zwei Ziffern bereits verwendet wurden. 4. **Vierte Ziffer**: Für die vierte Ziffer bleiben 3 Möglichkeiten. 5. **Fünfte Ziffer**: Für die fünfte Ziffer bleiben 2 Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl der möglichen fünfstelligen Zahlen ergibt sich aus der Multiplikation der Möglichkeiten: \[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \] Es können also 720 verschiedene fünfstellige natürliche Zahlen mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gebildet werden, wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind.

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Hier sind je ein Beispiel für Permutation, Kombination und Variation: **Permutation:** Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher in eine bestimmte Reihenfolge ins Regal zu stellen? Antwort: Es gibt 3! = 6 Permutationen. **Kombination:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 verschiedenen Obstsorten 2 auszuwählen, egal in welcher Reihenfolge? Antwort: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Kombinationen. **Variation:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 verschiedenen Farben 2 auszuwählen und sie in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen? Antwort: Es gibt \(4 \times 3 = 12\) Variationen.

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997 auf die nächste Zehnerstelle gerundet ergibt 1.000.

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Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zehnerstelle Zahlen

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255 auf die nächste 10 gerundet ergibt 260.

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Kategorie: Mathematik Tags: Runden Zahlen Zehner

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, versch... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden), geht man wie folgt vor: **1. Schritt: Auswahl der Zahl, die dreimal vorkommt** Es gibt 6 mögliche Zahlen (1 bis 6). **2. Schritt: Auswahl der Würfel, die diese Zahl zeigen** Es gibt \(\binom{5}{3} = 10\) Möglichkeiten, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. **3. Schritt: Die beiden übrigen Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden** - Es bleiben 5 Zahlen übrig (da eine Zahl schon dreimal vorkommt). - Die beiden Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Möglichkeiten, zwei verschiedene Zahlen aus 5 auszuwählen. - Die beiden Würfel sind unterscheidbar (z.B. Würfel 4 und 5), daher gibt es für jede Auswahl 2! = 2 Anordnungen. **Gesamtzahl der günstigen Fälle:** \(6 \times 10 \times 10 \times 2 = 1200\) **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Jeder Würfel hat 6 Möglichkeiten, also \(6^5 = 7776\). **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{1200}{7776} = \frac{25}{162} \approx 0{,}1543 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Zahl zeigen** (und die anderen beiden verschiedene, andere Zahlen), beträgt \(\frac{25}{162}\) bzw. etwa **15,43 %**.

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Ziffern sind tatsächlich Symbole, die zur Darstellung von Zahlen verwendet werden. Sie sind die „Bausteine“ unseres Zahlensystems. Zum Beispiel stehen im Dezimalsystem die Ziffern 0 b... [mehr]

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Ziffern sind tatsächlich Symbole, die zur Darstellung von Zahlen verwendet werden. Sie sind die „Bausteine“ unseres Zahlensystems. Zum Beispiel stehen im Dezimalsystem die Ziffern 0 bis 9 für die Grundsymbole, mit denen alle Zahlen gebildet werden können. Ob Ziffern eine „eigene Form“ haben, hängt davon ab, was damit gemeint ist: - **Als Symbole:** Ziffern sind Zeichen, die eine bestimmte Bedeutung tragen – ähnlich wie Buchstaben im Alphabet. Die Form, wie sie geschrieben oder gedruckt werden, kann variieren (z.B. verschiedene Schriftarten), aber die Bedeutung bleibt gleich. - **Im mathematischen Sinn:** Ziffern sind keine Zahlen selbst, sondern Zeichen, mit denen Zahlen dargestellt werden. Die Zahl „fünf“ kann zum Beispiel als „5“ (arabische Ziffer), „V“ (römische Ziffer) oder „٥“ (arabisch) geschrieben werden – es sind verschiedene Symbole für denselben Zahlenwert. Zusammengefasst: Ziffern sind Symbole für Zahlen und haben keine „eigene“ Form im Sinne einer festen, universellen Gestalt – ihre Darstellung ist konventionell und kann kulturell oder schriftartabhängig unterschiedlich sein. Ihre Funktion ist es, Zahlen darzustellen, nicht selbst Zahlen zu sein.

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1 Milliarde hat 9 Nullen. Sie wird so geschrieben: 1.000.000.000

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Kategorie: Mathematik Tags: Milliarde Nullen Zahlen

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1+1 ergibt 2.

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1+1 ergibt 2.

Kategorie: Mathematik Tags: Addition Grundrechenarten Zahlen

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Die Quadratzahl, die zwischen 101 und 131 liegt, ist **121**. Denn 11 × 11 = 121.

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Die Quadratzahl, die zwischen 101 und 131 liegt, ist **121**. Denn 11 × 11 = 121.

Kategorie: Mathematik Tags: Quadratzahl Bereich Zahlen

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Dreiviertel von 22 ist 16,5. Berechnung: 22 × ¾ = 16,5

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Dreiviertel von 22 ist 16,5. Berechnung: 22 × ¾ = 16,5

Kategorie: Mathematik Tags: Dreiviertel Bruchrechnung Zahlen

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewäh... [mehr]

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewählt oder verwendet werden darf. - **Mit Wiederholung:** Ein Element kann beliebig oft in der Anordnung vorkommen. - **Ohne Wiederholung:** Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. **Reihenfolge:** Reihenfolge gibt an, ob die Anordnung der Elemente eine Rolle spielt. - **Mit Reihenfolge:** Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind (z. B. 123 ≠ 321). - **Ohne Reihenfolge:** Die Anordnung spielt keine Rolle, nur die Auswahl der Elemente zählt (z. B. {1,2,3} = {3,2,1}). **Zusammengefasst:** - **Permutation:** Immer mit Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Kombination:** Ohne Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Variation:** Mit Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung. Diese Unterscheidung ist wichtig, um die richtige Formel für die Berechnung der Möglichkeiten zu wählen.