Was sind Beispiele für Permutation, Kombination und Variation?

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Was sind Beispiele für Permutation, Kombination und Variation?

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für genau 3 gleiche Zahlen beim Wurf von 5 Würfeln im Würfelbecher?

Wie sind die Begriffe Wiederholung und Reihenfolge bei Permutationen definiert?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen mit einem Würfel nur verschiedene Augenzahlen zu erhalten?

Auf wie viele Arten können 6 CDs im Regal angeordnet werden?

Was bedeutet permutationsinvariante Aggregation?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren und als Baumdiagramm darzustellen?

Accepted Answer

Hier sind je ein Beispiel für Permutation, Kombination und Variation: **Permutation:** Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher in eine bestimmte Reihenfolge ins Regal zu stellen? Antwort: Es gibt 3! = 6 Permutationen. **Kombination:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 verschiedenen Obstsorten 2 auszuwählen, egal in welcher Reihenfolge? Antwort: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Kombinationen. **Variation:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 verschiedenen Farben 2 auszuwählen und sie in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen? Antwort: Es gibt \(4 \times 3 = 12\) Variationen.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, versch... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl** zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden), geht man wie folgt vor: **1. Schritt: Auswahl der Zahl, die dreimal vorkommt** Es gibt 6 mögliche Zahlen (1 bis 6). **2. Schritt: Auswahl der Würfel, die diese Zahl zeigen** Es gibt \(\binom{5}{3} = 10\) Möglichkeiten, 3 Würfel aus 5 auszuwählen. **3. Schritt: Die beiden übrigen Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen, die sich auch von der dreifachen Zahl unterscheiden** - Es bleiben 5 Zahlen übrig (da eine Zahl schon dreimal vorkommt). - Die beiden Würfel müssen verschiedene Zahlen zeigen: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Möglichkeiten, zwei verschiedene Zahlen aus 5 auszuwählen. - Die beiden Würfel sind unterscheidbar (z.B. Würfel 4 und 5), daher gibt es für jede Auswahl 2! = 2 Anordnungen. **Gesamtzahl der günstigen Fälle:** \(6 \times 10 \times 10 \times 2 = 1200\) **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Jeder Würfel hat 6 Möglichkeiten, also \(6^5 = 7776\). **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{1200}{7776} = \frac{25}{162} \approx 0{,}1543 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf von 5 Würfeln **genau 3 Würfel die gleiche Zahl zeigen** (und die anderen beiden verschiedene, andere Zahlen), beträgt \(\frac{25}{162}\) bzw. etwa **15,43 %**.

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewäh... [mehr]

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewählt oder verwendet werden darf. - **Mit Wiederholung:** Ein Element kann beliebig oft in der Anordnung vorkommen. - **Ohne Wiederholung:** Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. **Reihenfolge:** Reihenfolge gibt an, ob die Anordnung der Elemente eine Rolle spielt. - **Mit Reihenfolge:** Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind (z. B. 123 ≠ 321). - **Ohne Reihenfolge:** Die Anordnung spielt keine Rolle, nur die Auswahl der Elemente zählt (z. B. {1,2,3} = {3,2,1}). **Zusammengefasst:** - **Permutation:** Immer mit Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Kombination:** Ohne Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Variation:** Mit Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung. Diese Unterscheidung ist wichtig, um die richtige Formel für die Berechnung der Möglichkeiten zu wählen.

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **L&o... [mehr]

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Bei drei Würfen mit einem normalen Würfel (6 Seiten) möchtest du wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass **alle drei Würfe verschiedene Augenzahlen zeigen**. **Lösungsschritte:** 1. **Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse:** Bei jedem Wurf gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \) mögliche Ergebnisse. 2. **Günstige Fälle (alle Augenzahlen verschieden):** - Beim ersten Wurf: 6 Möglichkeiten (alle Zahlen sind möglich) - Beim zweiten Wurf: 5 Möglichkeiten (alle außer die vom ersten Wurf) - Beim dritten Wurf: 4 Möglichkeiten (alle außer die ersten beiden) Also: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \) günstige Fälle. 3. **Wahrscheinlichkeit:** \[ P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}5556 \] **Antwort:** Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen mit einem normalen Würfel alle Augenzahlen verschieden sind, beträgt **\(\frac{5}{9}\)** (ca. 55,56 %).

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Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6!... [mehr]

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Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

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Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie b... [mehr]

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Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie beschreibt eine Aggregationsfunktion, deren Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Eingabeelemente ist. **Konkret bedeutet das:** Wenn du eine Menge von Elementen hast und eine Aggregationsfunktion darauf anwendest, ist das Ergebnis immer gleich, egal in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind. **Beispiel:** - Die Summe einer Menge {a, b, c} ist a + b + c, egal ob du die Elemente als (a, b, c), (b, c, a) oder (c, a, b) anordnest. - Das Maximum oder Minimum einer Menge ist ebenfalls unabhängig von der Reihenfolge. **Mathematisch:** Eine Funktion \( f \) ist permutationsinvariant, wenn für jede Permutation \( \pi \) gilt: \[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, ..., x_{\pi(n)}) \] **Anwendung:** In neuronalen Netzen, die mit Mengen arbeiten (z.B. PointNet für Punktwolken), werden oft solche Aggregationsfunktionen (wie Summe, Mittelwert, Maximum) verwendet, um sicherzustellen, dass das Netzwerk nicht von der Reihenfolge der Eingabedaten beeinflusst wird. **Zusammengefasst:** Eine permutationsinvariante Aggregation ist eine Methode, mehrere Werte so zusammenzufassen, dass das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Werte abhängt.

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Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren, muss zunächst geklärt werden, ob die Reihenfolge der Emojis eine Rolle spielt: - **Oh... [mehr]

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Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren, muss zunächst geklärt werden, ob die Reihenfolge der Emojis eine Rolle spielt: - **Ohne Reihenfolge** (Kombination): Es geht nur darum, welche Emojis ausgewählt werden, nicht in welcher Reihenfolge. - **Mit Reihenfolge** (Variation/Permutation): Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Emojis angeordnet sind. Da in der Frage von „kombinieren“ die Rede ist, wird üblicherweise die **Kombination ohne Reihenfolge** gemeint. ### Anzahl der Möglichkeiten (Kombination ohne Reihenfolge) Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Emojis aus 32 auszuwählen, berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten: \[ \binom{32}{3} = \frac{32!}{3! \cdot (32-3)!} = \frac{32 \cdot 31 \cdot 30}{6} = 4960 \] **Es gibt also 4.960 verschiedene Möglichkeiten, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren.** --- ### Baumdiagramm Ein Baumdiagramm für diese Auswahl würde wie folgt aussehen: 1. **Stufe 1:** 32 Äste (für jedes mögliche erste Emoji) 2. **Stufe 2:** Von jedem Ast der ersten Stufe gehen 31 Äste ab (für jedes verbleibende Emoji) 3. **Stufe 3:** Von jedem Ast der zweiten Stufe gehen 30 Äste ab (für jedes verbleibende Emoji) Da die Reihenfolge bei Kombinationen keine Rolle spielt, würde das Baumdiagramm alle möglichen Auswahlen zeigen, aber jede Kombination mehrfach (für jede Reihenfolge). Um nur die Kombinationen zu zeigen, müsste man das Baumdiagramm so anlegen, dass man z.B. immer nur Emojis auswählt, die im Alphabet (oder einer anderen Ordnung) nach dem vorherigen liegen. **Ein vollständiges Baumdiagramm für 32 Emojis und 3 Auswahlen wäre sehr groß und unübersichtlich.** Für eine kleine Anzahl (z.B. 4 Emojis) sähe es so aus: ``` Emoji 1 ├─ Emoji 2 │ └─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 ├─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 Emoji 2 ├─ Emoji 3 │ └─ Emoji 4 Emoji 3 └─ Emoji 4 ``` Für 32 Emojis ist das Prinzip dasselbe, aber mit viel mehr Ästen. --- **Zusammenfassung:** - Es gibt **4.960 Möglichkeiten**, drei von 32 unterschiedlichen Emojis zu kombinieren (ohne Reihenfolge). - Ein vollständiges Baumdiagramm ist sehr groß, das Prinzip ist aber wie oben beschrieben.