Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \...
Um den Flächeninhalt unter der Funktion \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) zu berechnen, musst du zunächst die Nullstellen der Funktion finden, um das Intervall zu bestimmen, über das du integrieren möchtest. 1. **Nullstellen finden**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \] Faktorisieren: \[ x(x^2 - 6x + 9) = 0 \] Das Quadrat kann weiter vereinfacht werden: \[ x(x - 3)^2 = 0 \] Die Nullstellen sind also \( x = 0 \) und \( x = 3 \). 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \( A \) unter der Kurve von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \) wird durch das Integral von \( f(x) \) über dieses Intervall gegeben: \[ A = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx \] Berechne das Integral: \[ A = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] Setze die Grenzen ein: \[ A = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} \right) \] Um die Terme zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (4): \[ = \left( \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} \right) \] \[ = \frac{81 - 216 + 162}{4} = \frac{27}{4} \] Der Flächeninhalt unter der Funktion \( f(x) \) von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \) beträgt also \( \frac{27}{4} \) oder 6,75.
Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die durch das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion \( f(x) \) entsteht. Genauer gesagt: Ist \( f(x) \) eine Funktion, dann ist eine Integralfunktion \...
Die Aussage „Es gibt Funktionen von einer zweielementigen Menge auf eine andere zweielementige Menge“ bedeutet Folgendes: - Du hast zwei Mengen, nennen wir sie \( A \) und \( B \), und be...
Die Umkehrfunktion (Inverse) von \( f(x) = -x \) ist ebenfalls \( f^{-1}(x) = -x \).
Die Umkehrfunktion (auch Inverse Funktion genannt) ist eine Funktion, die die Wirkung einer anderen Funktion rückgängig macht. Wenn du eine Funktion \( f \) hast, die einen Wert \( x \) auf...
Die **Hauptwertfunktion** (oft als „hr-Funktion“ abgekürzt) eines Ausdrucks wie \( x+5 \) ist einfach die Funktion selbst, da es sich um eine lineare Funktion handelt. Die Funktionsv...
Eine Kurvendiskussion ist eine systematische Untersuchung des Verlaufs einer mathematischen Funktion, meist einer Funktion f(x). Ziel ist es, möglichst viele Eigenschaften der Funktion zu bestimm...
Um eine Funktion in der Mitte einer anderen Gleichung zu verwenden, setzt du sie einfach an die gewünschte Stelle in die Gleichung ein. Das nennt man „Einsetzen“ oder „Substitut...
Um die Ableitung der Funktion \[ f(x) = \frac{(x-3)(x+2)}{(x+1)(x+5)} \] zu berechnen, verwendest du die Quotientenregel: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x...
Der korrekte mathematische Ausdruck wäre nicht „eine Gleichung in ein unbestimmtes Integral transferieren“. Stattdessen spricht man davon, eine Funktion zu **integrieren** oder das **...
Typischer Wortschatz im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation umfasst folgende Begriffe: - **Laplace-Transformation**: Integraltransformation, die eine Funktion \( f(t) \) in eine Funktion \( F...