Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f(x)=\sin(x)+2\), der \(x\)-Achse und den Grenzen \(x=-\pi\) bis \(x=1\). Da \(f(x)=\sin(x)+2 > 0\), ist die Fläche: \[ A=\int{...
Flächeninhalt der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x?
Antwort vomUm den Flächeninhalt unter der Funktion \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) zu berechnen, musst du zunächst die Nullstellen der Funktion finden, um das Intervall zu bestimmen, über das du integrieren möchtest. 1. **Nullstellen finden**: Setze \( f(x) = 0 \): \[ x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \] Faktorisieren: \[ x(x^2 - 6x + 9) = 0 \] Das Quadrat kann weiter vereinfacht werden: \[ x(x - 3)^2 = 0 \] Die Nullstellen sind also \( x = 0 \) und \( x = 3 \). 2. **Flächeninhalt berechnen**: Der Flächeninhalt \( A \) unter der Kurve von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \) wird durch das Integral von \( f(x) \) über dieses Intervall gegeben: \[ A = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx \] Berechne das Integral: \[ A = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] Setze die Grenzen ein: \[ A = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} \right) \] Um die Terme zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (4): \[ = \left( \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} \right) \] \[ = \frac{81 - 216 + 162}{4} = \frac{27}{4} \] Der Flächeninhalt unter der Funktion \( f(x) \) von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \) beträgt also \( \frac{27}{4} \) oder 6,75.
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