Faktorisiere den Term x^5 + 2x^4 - x^3.

Um den Term \( x^5 + 2x^4 - x^3 \) zu faktorisieren, kannst du zunächst den größten gemeinsamen Faktor (Ggf) herausziehen. In diesem Fall ist der Ggf \( x^3 \). Das ergibt: \[ x^5 + 2x^4 - x^3 = x^3(x^2 + 2x - 1) \] Nun kannst du den quadratischen Ausdruck \( x^2 + 2x - 1 \) weiter untersuchen. Um ihn zu faktorisieren, kannst du die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) verwenden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 2 \) und \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \] Somit kann der Ausdruck \( x^2 + 2x - 1 \) als \( (x - (-1 + \sqrt{2}))(x - (-1 - \sqrt{2})) \) geschrieben werden. Die vollständige Faktorisierung des ursprünglichen Terms ist also: \[ x^5 + 2x^4 - x^3 = x^3 \left( x - (-1 + \sqrt{2}) \right) \left( x - (-1 - \sqrt{2}) \right) \] Das ist die faktorisierte Form des Terms.