Sei n ∈ N. Beweisen Sie, dass zu a > 0 genau ein x ∈ R mit x > 0 und xn = a existiert.

Um zu beweisen, dass es für \( a > 0 \) genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) und \( x^n = a \) gibt, gehen wir wie folgt vor: 1. **Existenz**: Wir zeigen zunächst, dass es mindestens ein solches \( x \) gibt. Betrachte die Funktion \( f(x) = x^n \) für \( x > 0 \). Diese Funktion ist für \( x > 0 \) stetig und streng monoton wachsend, da die Ableitung \( f'(x) = n x^{n-1} > 0 \) für \( x > 0 \) ist. Da \( f(0) = 0^n = 0 \) und \( f(x) \to \infty \) für \( x \to \infty \), folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein \( x > 0 \) gibt, sodass \( f(x) = a \). Das bedeutet, es existiert mindestens ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) und \( x^n = a \). 2. **Eindeutigkeit**: Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, es gäbe zwei positive Zahlen \( x_1 \) und \( x_2 \) mit \( x_1^n = a \) und \( x_2^n = a \). Das bedeutet, dass \( x_1^n = x_2^n \). Da \( n \) eine natürliche Zahl ist, können wir die Gleichung umformen: \[ (x_1 - x_2)(x_1^{n-1} + x_1^{n-2}x_2 + \ldots + x_2^{n-1}) = 0. \] Da \( x_1 \) und \( x_2 \) beide positiv sind, ist der Ausdruck \( x_1^{n-1} + x_1^{n-2}x_2 + \ldots + x_2^{n-1} > 0 \). Daher muss \( x_1 - x_2 = 0 \) sein, was bedeutet, dass \( x_1 = x_2 \). Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass es genau ein \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x > 0 \) gibt, sodass \( x^n = a \) für \( a > 0 \).