Für f(t) = 2,5 · (1 - e^(0,1t)) ist die Ableitung: f'(t) = 2,5 · ( -0,1 · e^(0,1t) ) also vereinfacht: f'(t) = -0,25 · e^(0,1t) Ergebnis: f'(t) =...
Bestimme die erste Ableitung von f(x)=(5-4x^2)^3.
Antwort vomUm die erste Ableitung der Funktion \( f(x) = (5 - 4x^2)^3 \) zu bestimmen, verwenden wir die Kettenregel. Hier sind die Schritte: 1. **Identifiziere die äußere und die innere Funktion**: - Äußere Funktion: \( g(u) = u^3 \) mit \( u = 5 - 4x^2 \) - Innere Funktion: \( h(x) = 5 - 4x^2 \) 2. **Berechne die Ableitung der äußeren Funktion**: \[ g'(u) = 3u^2 \] 3. **Berechne die Ableitung der inneren Funktion**: \[ h'(x) = -8x \] 4. **Wende die Kettenregel an**: Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von \( f(x) \) gegeben ist durch: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] 5. **Setze die Ableitungen ein**: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 3(5 - 4x^2)^2 \cdot (-8x) \] 6. **Vereinfache den Ausdruck**: \[ f'(x) = -24x(5 - 4x^2)^2 \] Somit ist die erste Ableitung von \( f(x) = (5 - 4x^2)^3 \): \[ f'(x) = -24x(5 - 4x^2)^2 \]
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