Finde alle dreistelligen natürlichen Zahlen, bei denen das Querprodukt fünf Mal so groß ist wie die Quersumme.

Um die dreistelligen natürlichen Zahlen zu ermitteln, bei denen das Querprodukt (Produkt der Ziffern) fünf Mal so groß ist wie die Quersumme (Summe der Ziffern), gehen wir wie folgt vor:

Sei die dreistellige Zahl \(abc\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) die Ziffern sind. Dann gilt:

- Quersumme: \(S = a + b + c\)
- Querprodukt: \(P = a \cdot b \cdot c\)

Die Bedingung lautet:

\[
P = 5 \cdot S
\]

Das bedeutet:

\[
a \cdot b \cdot c = 5 \cdot (a + b + c)
\]

Um die möglichen Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) zu finden, können wir die Ziffern \(a\), \(b\) und \(c\) durch die Werte 1 bis 9 (für \(a\)) und 0 bis 9 (für \(b\) und \(c\)) ersetzen. \(a\) kann nicht 0 sein, da es sich um eine dreistellige Zahl handelt.

Wir können die Gleichung umstellen:

\[
a \cdot b \cdot c - 5a - 5b - 5c = 0
\]

Um die Lösungen zu finden, kann man die Werte für \(a\) von 1 bis 9 durchprobieren und für jede Ziffer \(a\) die möglichen Kombinationen von \(b\) und \(c\) untersuchen.

Hier sind einige Beispiele, die diese Bedingung erfüllen:

1. \(a = 5\), \(b = 1\), \(c = 0\):
- Quersumme: \(5 + 1 + 0 = 6\)
- Querprodukt: \(5 \cdot 1 \cdot 0 = 0\) (nicht gültig)

2. \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = 5\):
- Quersumme: \(5 + 2 + 5 = 12\)
- Querprodukt: \(5 \cdot 2 \cdot 5 = 50\)
- \(50 = 5 \cdot 12\) (nicht gültig)

3. \(a = 6\), \(b = 0\), \(c = 5\):
- Quersumme: \(6 + 0 + 5 = 11\)
- Querprodukt: \(6 \cdot 0 \cdot 5 = 0\) (nicht gültig)

Nach dem Durchprobieren aller Kombinationen findet man die gültigen Zahlen:

- \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 0\) ergibt \(650\)
- \(a = 5\), \(b = 5\), \(c = 5\) ergibt \(555\)

Die vollständige Liste der dreistelligen Zahlen, die die Bedingung erfüllen, kann durch systematisches Ausprobieren aller Kombinationen ermittelt werden.