Welche dreistellige Zahl hat die Quersumme 12 und ergibt nach Ziffernumkehr eine um 594 größere Zahl?

Bezeichnen wir die dreistellige Zahl als \( abc \), wobei \( a, b, c \) die Ziffern sind (und \( a \neq 0 \)).
Die Zahl selbst ist dann:
\( 100a + 10b + c \)

Die Quersumme ist:
\( a + b + c = 12 \)

Vertauscht man die Ziffern in der Reihenfolge, erhält man:
\( 100c + 10b + a \)

Diese neue Zahl ist um 594 größer als die ursprüngliche:
\( 100c + 10b + a = 100a + 10b + c + 594 \)

Vereinfachen:
\( 100c + a = 100a + c + 594 \)
\( 100c - c + a - 100a = 594 \)
\( 99c - 99a = 594 \)
\( 99(c - a) = 594 \)
\( c - a = \frac{594}{99} = 6 \)
\( c = a + 6 \)

Da \( a + b + c = 12 \) und \( c = a + 6 \):
\( a + b + (a + 6) = 12 \)
\( 2a + b = 6 \)

Da \( a \) und \( b \) Ziffern sind und \( a \geq 1 \), \( c \leq 9 \):

Teste mögliche Werte für \( a \):

- \( a = 1 \): \( 2 \cdot 1 + b = 6 \Rightarrow b = 4 \), \( c = 1 + 6 = 7 \) → Zahl: 147
- \( a = 2 \): \( 2 \cdot 2 + b = 6 \Rightarrow b = 2 \), \( c = 2 + 6 = 8 \) → Zahl: 228
- \( a = 3 \): \( 2 \cdot 3 + b = 6 \Rightarrow b = 0 \), \( c = 3 + 6 = 9 \) → Zahl: 309

Prüfe, ob die Bedingung mit der Differenz stimmt:

1. **147**: Vertauscht: 741. \( 741 - 147 = 594 \) ✔️
2. **228**: Vertauscht: 822. \( 822 - 228 = 594 \) ✔️
3. **309**: Vertauscht: 903. \( 903 - 309 = 594 \) ✔️

**Antwort:**
Mögliche Zahlen sind **147**, **228** und **309**.