Warum gibt es in der allgemeinen Lösung einer DGL eine Variable bei der dritten Konstante?

In der allgemeinen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (DGL) treten Konstanten auf, die als Integrationskonstanten bezeichnet werden. Diese Konstanten entstehen, weil bei der Integration von Differentialgleichungen unbestimmte Integrale gelöst werden, die jeweils eine Konstante hinzufügen.

Wenn du eine Differentialgleichung dritter Ordnung löst, wirst du drei Integrationskonstanten haben. Das liegt daran, dass du die Gleichung dreimal integrieren musst, um zur allgemeinen Lösung zu gelangen. Jede Integration fügt eine neue Konstante hinzu, die die allgemeine Form der Lösung beschreibt.

Die allgemeine Lösung einer DGL dritter Ordnung hat also die Form:

\[ y(x) = f(x) + C_1 g_1(x) + C_2 g_2(x) + C_3 g_3(x) \]

Hier sind \( C_1, C_2 \) und \( C_3 \) die Integrationskonstanten, und \( f(x), g_1(x), g_2(x) \) und \( g_3(x) \) sind Funktionen, die durch die Lösung der DGL bestimmt werden.

Diese Konstanten sind notwendig, um die allgemeine Lösung zu beschreiben, da sie die verschiedenen möglichen Lösungen der Differentialgleichung repräsentieren, die durch unterschiedliche Anfangs- oder Randbedingungen spezifiziert werden können.