Wie hoch ist die Chance, dass ich aus 48 Zahlen, aus denen 20 gezogen werden, bei 8 angekreuzten Zahlen 8 Treffer habe?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass du alle 8 angekreuzten Zahlen aus den 20 gezogenen Zahlen triffst, kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden.

Die Formel für die hypergeometrische Verteilung ist:

\[
P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}}
\]

Dabei ist:
- \(N\) die Gesamtzahl der Zahlen (48),
- \(K\) die Anzahl der gezogenen Zahlen (20),
- \(n\) die Anzahl der angekreuzten Zahlen (8),
- \(k\) die Anzahl der Treffer (8).

In deinem Fall:
- \(N = 48\)
- \(K = 20\)
- \(n = 8\)
- \(k = 8\)

Setze die Werte in die Formel ein:

1. Berechne \(\binom{K}{k} = \binom{20}{8}\)
2. Berechne \(\binom{N-K}{n-k} = \binom{28}{0}\) (da du keine weiteren Treffer benötigst)
3. Berechne \(\binom{N}{n} = \binom{48}{8}\)

Die Berechnungen ergeben:

\[
P(X = 8) = \frac{{\binom{20}{8} \cdot \binom{28}{0}}}{{\binom{48}{8}}}
\]

Da \(\binom{28}{0} = 1\), vereinfacht sich die Formel zu:

\[
P(X = 8) = \frac{{\binom{20}{8}}}{{\binom{48}{8}}}
\]

Nun kannst du die Werte für die Binomialkoeffizienten berechnen:

- \(\binom{20}{8} = \frac{20!}{8!(20-8)!}\)
- \(\binom{48}{8} = \frac{48!}{8!(48-8)!}\)

Die genauen Werte kannst du mit einem Taschenrechner oder einer Software berechnen. Die Wahrscheinlichkeit wird in der Regel sehr klein sein, da du alle 8 Zahlen korrekt treffen musst.