Das geometrische Mittel berechnest du, indem du alle Zahlen miteinander multiplizierst und danach die n-te Wurzel aus dem Produkt ziehst; bei \(n\) Zahlen also \((x1 \cdot x2 \cdot \dots \cdot xn)^{1/...
Wie hoch ist die Chance, dass ich aus 48 Zahlen, aus denen 20 gezogen werden, bei 8 angekreuzten Zahlen 8 Treffer habe?
Antwort vomUm die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass du alle 8 angekreuzten Zahlen aus den 20 gezogenen Zahlen triffst, kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden. Die Formel für die hypergeometrische Verteilung ist: \[ P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}} \] Dabei ist: - \(N\) die Gesamtzahl der Zahlen (48), - \(K\) die Anzahl der gezogenen Zahlen (20), - \(n\) die Anzahl der angekreuzten Zahlen (8), - \(k\) die Anzahl der Treffer (8). In deinem Fall: - \(N = 48\) - \(K = 20\) - \(n = 8\) - \(k = 8\) Setze die Werte in die Formel ein: 1. Berechne \(\binom{K}{k} = \binom{20}{8}\) 2. Berechne \(\binom{N-K}{n-k} = \binom{28}{0}\) (da du keine weiteren Treffer benötigst) 3. Berechne \(\binom{N}{n} = \binom{48}{8}\) Die Berechnungen ergeben: \[ P(X = 8) = \frac{{\binom{20}{8} \cdot \binom{28}{0}}}{{\binom{48}{8}}} \] Da \(\binom{28}{0} = 1\), vereinfacht sich die Formel zu: \[ P(X = 8) = \frac{{\binom{20}{8}}}{{\binom{48}{8}}} \] Nun kannst du die Werte für die Binomialkoeffizienten berechnen: - \(\binom{20}{8} = \frac{20!}{8!(20-8)!}\) - \(\binom{48}{8} = \frac{48!}{8!(48-8)!}\) Die genauen Werte kannst du mit einem Taschenrechner oder einer Software berechnen. Die Wahrscheinlichkeit wird in der Regel sehr klein sein, da du alle 8 Zahlen korrekt treffen musst.
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