Chance berechnen, 7 Treffer aus 50 Zahlen zu haben.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass du genau 7 Treffer hast, wenn aus 50 Zahlen 20 gezogen werden und du 7 Zahlen ankreuzt, kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden.

Die Formel für die hypergeometrische Verteilung lautet:

\[
P(X = k) = \frac{{\om{K}{k} \ot \binom{N-K}{n}}}{{\binom{N}{}}}
\]

Dabei ist:
- \(N\) die Gesamtzahl der Elemente (50 Zahlen),
- \(K\) die Anzahl der Erfolge in der Grundgesamtheit (20 gezogene Zahlen),
- \(n\) die Anzahl der gezogenen Elemente (7 angekreuzte Zahlen),
- \(k) die Anzahl der Erfolge, die du erzielen möchtest (7 Treffer).

Setzen wir die Werte ein:
- \(N = 50\)
- \(K = 20\)
- \(n = 7\)
- \(k = 7\)

Die Berechnung sieht dann so aus:

1. \(\binom{K}{k} = \binom{20}{7}\)
2. \(\binom{N-K}{n-k} = \binom{30}{0}\) (da du keine weiteren Treffer haben möchtest)
3. \(\binom{N}{n} = \binom{50}{7}\)

Jetzt berechnen wir die einzelnen Binomialkoeffizienten:

1. \(\binom{20}{7} = \frac{20!}{7!(20-7)!} = 77520\)
2. \(\binom{30}{0} = 1\)
3. \(\binom{50}{7} = \frac{50!}{7!(50-7)!} = 99884400\)

Setzen wir alles in die Formel ein:

\[
P(X = 7) = \frac{{77520 \cdot 1}}{{99884400}} \approx 0.000777
\]

Die Wahrscheinlichkeit, genau 7 Treffer zu haben, beträgt also etwa 0,0777 % oder 1 zu 1285.