Beweise die Gleichungen A \ B = A ∩ CBC(A ∩ B) = CA ∪ CB für beliebige Teilmengen A, B ⊆ G.

Um die Gleichungen zu beweisen, betrachten wir die Definitionen der Mengenoperationen und die Eigenschaften von Teilmengen.

1. **Beweis von \( A \setminus B = A \cap C^B \)**:

Hierbei ist \( C^B \) die Komplementärmenge von \( B \) in Bezug auf \( G \). Das bedeutet, dass \( C^B = G \setminus B \).

- Die linke Seite \( A \setminus B \) ist definiert als die Menge aller Elemente, die in \( A \) sind, aber nicht in \( B \). Formal:
\[
A \setminus B = \{ x \in A \mid x \notin B \}
\]

- Die rechte Seite \( A \cap C^B \) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in \( A \) als auch nicht in \( B \) sind:
\[
A \cap C^B = \{ x \in A \mid x \in G \setminus B \} = \{ x \in A \mid x \notin B \}
\]

Da beide Seiten die gleiche Bedingung beschreiben, gilt:
\[
A \setminus B = A \cap C^B
\]

2. **Beweis von \( C^A \cap C^B = C^{A \cup B} \)**:

Hierbei ist \( C^A \) das Komplement von \( A \) und \( C^B \) das Komplement von \( B \).

- Die linke Seite \( C^A \cap C^B \) ist die Menge aller Elemente, die weder in \( A \) noch in \( B \) sind:
\[
C^A \cap C^B = (G \setminus A) \cap (G \setminus B) = G \setminus (A \cup B)
\]

- Die rechte Seite \( C^{A \cup B} \) ist die Menge aller Elemente, die nicht in \( A \cup B \) sind:
\[
C^{A \cup B} = G \setminus (A \cup B)
\]

Da beide Seiten identisch sind, gilt:
\[
C^A \cap C^B = C^{A \cup B}
\]

3. **Beweis von \( C^{A \cap B} = C^A \cup C^B \)**:

- Die linke Seite \( C^{A \cap B} \) ist die Menge aller Elemente, die nicht in \( A \cap B \) sind:
\[
C^{A \cap B} = G \setminus (A \cap B)
\]

- Die rechte Seite \( C^A \cup C^B \) ist die Menge aller Elemente, die entweder nicht in \( A \) oder nicht in \( B \) sind:
\[
C^A \cup C^B = (G \setminus A) \cup (G \setminus B)
\]

Nach De Morganschen Gesetzen gilt:
\[
G \setminus (A \cap B) = (G \setminus A) \cup (G \setminus B)
\]

Daher gilt:
\[
C^{A \cap B} = C^A \cup C^B
\]

Zusammenfassend haben wir die Gleichungen bewiesen:
1. \( A \setminus B = A \cap C^B \)
2. \( C^A \cap C^B = C^{A \cup B} \)
3. \( C^{A \cap B} = C^A \cup C^B \)