Was sind Bernoulli-Ketten und wie berechnet man sie?

Eine Bernoulli-Kette ist ein stochastisches, das eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Experimenten beschreibt. Jedes Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse, oft als "Erfolg" (1) und "Misserfolg" (0) bezeichnet, mit einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \) und einer Misserfolgswahrscheinlichkeit \( q = 1 - p \).

Um eine Bernoulli-Kette zu berechnen, kannst du folgende Schritte befolgen:

1. **Definition der Parameter**: Bestimme die Anzahl der Versuche \( n \) und die Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \).

2. **Wahrscheinlichkeitsverteilung**: Die Anzahl der Erfolge \( k \) in \( n \) Versuchen folgt einer Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, genau \( k \) Erfolge zu haben, wird durch die Formel gegeben:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
wobei \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient ist, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen anzuordnen.

3. **Erwartungswert und Varianz**: Der Erwartungswert \( E(X) \) und die Varianz \( Var(X) \) einer Bernoulli-Kette sind gegeben durch:
- Erwartungswert: \( E(X) = n \cdot p \)
- Varianz: \( Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \)

4. **Berechnungen durchführen**: Setze die Werte für \( n \) und \( p \) in die Formeln ein, um die Wahrscheinlichkeiten, den Erwartungswert und die Varianz zu berechnen.

Diese Schritte helfen dir, die Eigenschaften einer Bernoulli-Kette zu verstehen und zu berechnen.