Einfach erklärt: Was sind Bernoulli-Ketten und wie berechnet man sie?

Eine Bernoulli-Kette ist ein mathematisches Modell, das eine Folge von Zufallsversuchen beschreibt, bei denen es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, oft als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet. Diese Ketten sind besonders nützlich in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Hier sind die grundlegenden Konzepte und Berechnungen:

1. **Definition**: Eine Bernoulli-Kette besteht aus n unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch einen Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) oder einen Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit q = 1 - p) hat.

2. **Wahrscheinlichkeitsverteilung**: Die Anzahl der Erfolge in n Versuchen folgt einer Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in n Versuchen zu haben, wird durch die Formel gegeben:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
Hierbei ist \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen.

3. **Erwartungswert und Varianz**:
- Der Erwartungswert (Durchschnitt) der Erfolge in einer Bernoulli-Kette ist:
\[
E(X) = n \cdot p
\]
- Die Varianz (Maß für die Streuung) ist:
\[
Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
\]

4. **Anwendung**: Bernoulli-Ketten finden Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. in der Qualitätskontrolle, Umfragen oder bei Spielen, wo man die Wahrscheinlichkeit von bestimmten Ergebnissen berechnen möchte.

Zusammengefasst beschreibt eine Bernoulli-Kette eine Serie von unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ergebnissen, und die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Binomialverteilung.