Was sind Bernoulli-Ketten und wie berechnet man sie einfach?

Eine Bernoulli-Kette ist ein mathematisches Modell, das eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Experimenten beschreibt. Jedes Experiment hat zwei mögliche Ergebnisse: Erfolg (z.B. Kopf bei einem Münzwurf) oder Misserfolg (z.B. Zahl). Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei \( p \) und für einen Misserfolg \( q = 1 - p \).

Hier sind die grundlegenden Schritte zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette:

1. **Anzahl der Versuche (n)**: Bestimme, wie viele Experimente durchgeführt werden.

2. **Anzahl der Erfolge (k)**: Lege fest, wie viele Erfolge du in diesen n Versuchen haben möchtest.

3. **Wahrscheinlichkeiten**: Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg \( p \) und für einen Misserfolg \( q \).

4. **Binomialverteilung**: Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in n Versuchen zu haben, wird durch die Binomialverteilung beschrieben und kann mit der Formel berechnet werden:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
\]

Hierbei ist \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen und wird berechnet als:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

5. **Erwartungswert und Varianz**: Der Erwartungswert \( E(X) \) und die Varianz \( Var(X) \) einer Bernoulli-Kette sind ebenfalls wichtig:
- Erwartungswert: \( E(X) = n \cdot p \)
- Varianz: \( Var(X) = n \cdot p \cdot q \)

Diese Konzepte helfen dir, die Wahrscheinlichkeiten und Eigenschaften von Bernoulli-Ketten zu verstehen und zu berechnen.