Wie berechnet man die waagrechte Asymptote?

Die waagrechte Asymptote einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn der Wert der unabhängigen Variablen (meistens \( x \)) gegen unendlich oder minus unendlich geht. Hier sind die Schritte zur Berechnung der waagrechten Asymptote:

1. **Rationale Funktionen**: Bei einer rationalen Funktion der Form \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \), wobei \( P(x) \) und \( Q(x) \) Polynome sind, hängt die waagrechte Asymptote von den Graden der Polynome ab:
- **Grad von \( P(x) \) < Grad von \( Q(x) \)**: Die waagrechte Asymptote ist \( y = 0 \).
- **Grad von \( P(x) = Grad von \( Q(x) \)**: Die waagrechte Asymptote ist \( y = \frac{a}{b} \), wobei \( a \) der Leitkoeffizient von \( P(x) \) und \( b \) der Leitkoeffizient von \( Q(x) \) ist.
- **Grad von \( P(x) > Grad von \( Q(x) \)**: Es gibt keine waagrechte Asymptote (es könnte jedoch eine schräge Asymptote geben).

2. **Exponentialfunktionen**: Bei Funktionen der Form \( f(x) = a \cdot b^x + c \), wobei \( b \neq 1 \), ist die waagrechte Asymptote \( y = c \), da der Term \( a \cdot b^x \) gegen 0 geht, wenn \( x \) gegen minus unendlich geht (für \( 0 < b < 1 \)) oder gegen unendlich geht (für \( b > 1 \)).

3. **Logarithmische Funktionen**: Bei Funktionen der Form \( f(x) = a \cdot \log_b(x) + c \) gibt es keine waagrechte Asymptote, da der Logarithmus unbegrenzt wächst, wenn \( x \) gegen unendlich geht.

4. **Trigonometrische Funktionen**: Diese haben in der Regel keine waagrechten Asymptoten, da sie periodisch sind.

Zusammengefasst: Die waagrechte Asymptote einer Funktion hängt stark von der Art der Funktion ab. Bei rationalen Funktionen ist sie am einfachsten zu bestimmen, indem man die Grade der Zähler- und Nennerpolynome vergleicht.