Berechne x: Quadratwurzel(x+1) = Quadratwurzel(x) + 1?

Um die Gleichung \(\sqrt{x + 1} = \sqrt{x} + 1\) zu lösen, gehe wie folgt vor:

1. Quadriere beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel zu eliminieren:
\[
(\sqrt{x + 1})^2 = (\sqrt{x} + 1)^2
\]
Das ergibt:
\[
x + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1
\]

2. Vereinfache die Gleichung:
\[
x + 1 = x + 2\sqrt{x} + 1
\]
Subtrahiere \(x + 1\) von beiden Seiten:
\[
0 = 2\sqrt{x}
\]

3. Teile durch 2:
\[
0 = \sqrt{x}
\]

4. Quadriere beide Seiten:
\[
0 = x
\]

Die Lösung ist also \(x = 0\).

Um sicherzustellen, dass dies die richtige Lösung ist, setze \(x = 0\) in die ursprüngliche Gleichung ein:
\[
\sqrt{0 + 1} = \sqrt{0} + 1 \implies \sqrt{1} = 0 + 1 \implies 1 = 1
\]
Die Gleichung ist erfüllt. Daher ist die Lösung \(x = 0\).