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Wie viele ganzzahlige Quadrate sind Teiler von 20 hoch 24?
Antwort vomUm die Anzahl der ganzzahligen Quadrate zu bestimmen, die Teiler von \(20^{24}\) sind, müssen wir zunächst die Primfaktorzerlegung von \(20\) durchführen. Die Zahl \(20\) kann als \(20 = 2^2 \cdot 5^1\) geschrieben werden. Daher ergibt sich: \[ 20^{24} = (2^2 \cdot 5^1)^{24} = 2^{48} \cdot 5^{24} \] Ein Teiler von \(20^{24}\) hat die Form \(2^a \cdot 5^b\), wobei \(0 \leq a \leq 48\) und \(0 \leq b \leq 24\). Für einen Teiler, der ein Quadrat ist, müssen sowohl \(a\) als auch \(b\) gerade Zahlen sein. Die möglichen Werte für \(a\) (gerade Zahlen zwischen 0 und 48) sind: \(0, 2, 4, \ldots, 48\). Das sind insgesamt \(25\) Werte (da die Anzahl der geraden Zahlen von \(0\) bis \(48\) durch \(2\) teilbar ist: \(\frac{48}{2} + 1 = 25\)). Die möglichen Werte für \(b\) (gerade Zahlen zwischen 0 und 24) sind: \(0, 2, 4, \ldots, 24\). Das sind insgesamt \(13\) Werte (da die Anzahl der geraden Zahlen von \(0\) bis \(24\) ebenfalls durch \(2\) teilbar ist: \(\frac{24}{2} + 1 = 13\)). Um die Gesamtanzahl der ganzzahligen Quadrate zu berechnen, die Teiler von \(20^{24}\) sind, multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten für \(a\) und \(b\): \[ 25 \cdot 13 = 325 \] Somit gibt es insgesamt \(325\) ganzzahlige Quadrate, die Teiler von \(20^{24}\) sind.
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