Nachweis der Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung für f(x) = 1/x, f(x) = 1/x^2, f(x) = x^-3, f(x) = x^-6.

Question

Nachweis der Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung für f(x) = 1/x, f(x) = 1/x^2, f(x) = x^-3, f(x) = x^-6.

Antwort

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Berechne für a=2 (3a^3+4a^2)*(-2a-a^5).

Warum wächst e^x schneller als x^n?

Accepted Answer

Um die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung für die gegebenen Funktionen nachzuweisen, verwenden wir die folgenden Kriterien: 1. **Achsensymmetrie zur y-Achse**: Eine Funktion \( f(x) \) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) gilt. 2. **Punktsymmetrie zum Ursprung**: Eine Funktion \( f(x) \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \( f(-x) = -f(x) \) für alle \( x \) gilt. Nun überprüfen wir die Funktionen: 1. **Für \( f(x) = \frac{1}{x} \)**: - \( f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} \) - Hier gilt \( f(-x) = -f(x) \), also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. **Für \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)**: - \( f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} \) - Hier gilt \( f(-x) = f(x) \), also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. 3. **Für \( f(x) = x^{-3} \)**: - \( f(-x) = (-x)^{-3} = -x^{-3} \) - Hier gilt \( f(-x) = -f(x) \), also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. 4. **Für \( f(x) = x^{-6} \)**: - \( f(-x) = (-x)^{-6} = x^{-6} \) - Hier gilt \( f(-x) = f(x) \), also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Zusammenfassend: - \( f(x) = \frac{1}{x} \) und \( f(x) = x^{-3} \) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. - \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) und \( f(x) = x^{-6} \) sind achsensymmetrisch zur y-Achse.

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Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(... [mehr]

Accepted Answer

Um die Probe für \( a = 2 \) durchzuführen, setzen wir \( a \) in den Ausdruck \( (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) \) ein. 1. Berechne zuerst \( 3a^3 + 4a^2 \): \[ 3(2^3) + 4(2^2) = 3(8) + 4(4) = 24 16 = 40 \] 2. Berechne dann \( -2a - a^5 \): \[ -2(2) - (2^5) = -4 - 32 = -36 \] 3. Setze die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ (3a^3 + 4a^2)(-2a - a^5) = 40 \cdot (-36) = -1440 \] Die Probe für \( a = 2 \) ergibt also \( -1440 \).

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig vo... [mehr]

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Die Funktion \( e^x \) wächst schneller als jede Polynomfunktion \( x^n \) (wobei \( n \) eine positive ganze Zahl ist), die Exponentialfunktion eineante Wachstumsrate hat, die unabhängig von \( x \) ist Mathematisch lässt sich dies durch den Vergleich der Ableitungen zeigen. Die Ableitung von \( e^x \) ist \( e^x \), während die Ableitung von \( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \) ist. Für große Werte von \( x \) wird \( e^x \) also immer größer als \( x^n \), da die Wachstumsrate von \( e^x \) exponentiell ist, während die Wachstumsrate von \( x^n \) polynomial bleibt. Ein weiterer Weg, dies zu zeigen, ist der L'Hôpital'sche Regel, die besagt, dass der Grenzwert des Verhältnisses zweier Funktionen, wenn beide gegen unendlich gehen, durch die Ableitungen dieser Funktionen bestimmt werden kann. Wenn man den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) für \( x \to \infty \) betrachtet, erhält man: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \] Das bedeutet, dass \( e^x \) viel schneller wächst als \( x^n \), wenn \( x \) sehr groß wird.