6 Fragen zu Ziehungen

Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination:** - **ww (weiß-weiß):** \[ P(ww) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] - **rr (rot-rot):** \[ P(rr) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \] - **wr (weiß-rot) oder rw (rot-weiß):** \[ P(wr) = \frac{3}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] \[ P(rw) = \frac{6}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] Da wr und rw gleichwertig sind: \[ P(wr \text{ oder } rw) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] - **Kombinationen mit einer schwarzen Kugel (s):** \[ P(s) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{9} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] 2. **Berechne die erwarteten Gewinne:** - **Gewinn bei ww: 2€** - **Gewinn bei rr: 1,25€** - **Gewinn bei wr oder rw: 1,5€** - **Gewinn bei einer schwarzen Kugel: 0€** 3. **Erwarteter Gewinn:** \[ E(Gewinn) = P(ww) \times 2 + P(rr) \times 1,25 + P(wr \text{ oder } rw) \times 1,5 + P(s) \times 0 \] Setze die Wahrscheinlichkeiten ein: \[ E(Gewinn) = \frac{1}{15} \times 2 + \frac{1}{3} \times 1,25 + \frac{2}{5} \times 1,5 + \frac{1}{5} \times 0 \] Berechne die einzelnen Terme: \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25}{3} + \frac{3}{5} \] Um die Brüche zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (15): \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25 \times 5}{15} + \frac{3 \times 3}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{6,25}{15} + \frac{9}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2 + 6,25 + 9}{15} = \frac{17,25}{15} = 1,15 \] Der erwartete Gewinn beträgt also 1,15€. Da der Einsatz 1€ beträgt, ist der Nettogewinn 0,15€.

Um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationen von Kugeln zu berechnen, die bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen werden, kann man die Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination wie folgt berechnen: 1. **Gesamtanzahl der Kugeln:** \( 6 \text{ (rot)} + 3 \text{ (weiß)} + 1 \text{ (schwarz)} = 10 \text{ Kugeln} \) 2. **Gesamtanzahl der möglichen Ziehungen:** Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, verwenden wir die Kombinationen: \[ \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] 3. **Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination:** - **ww (zwei weiße Kugeln):** \[ \binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] Wahrscheinlichkeit: \(\frac{3}{45} = \frac{1}{15}\) - **rr (zwei rote Kugeln):** \[ \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] Wahrscheinlichkeit: \(\frac{15}{45} = \frac{1}{3}\) - **ws (eine weiße und eine schwarze Kugel):** \[ \binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 1 = 3 \] Wahrscheinlichkeit: \(\frac{3}{45} = \frac{1}{15}\) - **rs (eine rote und eine schwarze Kugel):** \[ \binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 6 \times 1 = 6 \] Wahrscheinlichkeit: \(\frac{6}{45} = \frac{2}{15}\) - **wr (eine weiße und eine rote Kugel):** \[ \binom{3}{1} \times \binom{6}{1} = 3 \times 6 = 18 \] Wahrscheinlichkeit: \(\frac{18}{45} = \frac{2}{5}\) - **s (eine schwarze Kugel):** Da es nur eine schwarze Kugel gibt, kann sie nur in Kombination mit einer anderen Farbe gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne schwarze Kugel ist daher nicht relevant in diesem Kontext. Zusammengefasst sind die Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen: - ww: \(\frac{1}{15}\) - rr: \(\frac{1}{3}\) - ws: \(\frac{1}{15}\) - rs: \(\frac{2}{15}\) - wr: \(\frac{2}{5}\) Diese Wahrscheinlichkeiten decken alle möglichen Kombinationen ab, die bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auftreten können.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge eine bestimmte Kombination von Kugeln zu erhalten, kann man die kombinatorische Methode verwenden. Angenommen, du möchtest die Wahrscheinlichkeit berechnen, zwei rote Kugeln zu ziehen: 1. **Gesamtzahl der Kugeln**: Es gibt insgesamt 10 Kugeln (6 rote, 3 weiße, 1 schwarze). 2. **Anzahl der Möglichkeiten, zwei Kugeln zu ziehen**: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, zwei Kugeln aus 10 zu ziehen, ist gegeben durch die Kombinationen \(\binom{10}{2}\). \[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] 3. **Anzahl der Möglichkeiten, zwei rote Kugeln zu ziehen**: Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei rote Kugeln aus 6 zu ziehen, ist gegeben durch die Kombinationen \(\binom{6}{2}\). \[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] 4. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, ist das Verhältnis der Anzahl der günstigen Möglichkeiten zur Gesamtzahl der Möglichkeiten. \[ P(\text{zwei rote Kugeln}) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \] Falls du die Wahrscheinlichkeit für eine andere Kombination von Kugeln berechnen möchtest, kannst du die gleiche Methode anwenden, indem du die entsprechenden Kombinationen berechnest.

Um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationen von Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen zu berechnen, müssen wir die Anzahl der günstigen Kombinationen durch die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen teilen. Es gibt insgesamt 10 Kugeln: 6 rote (r), 3 weiße (w) und 1 schwarze (s). Die Gesamtanzahl der möglichen Kombinationen von 2 Kugeln aus 10 ist: \[ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Nun berechnen wir die Anzahl der günstigen Kombinationen für jede der gefragten Kombinationen: 1. **ss (schwarz-schwarz)**: - Es gibt nur eine schwarze Kugel, daher ist es unmöglich, zwei schwarze Kugeln zu ziehen. - Anzahl der günstigen Kombinationen: 0 - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{0}{45} = 0\) 2. **ws (weiß-schwarz)**: - Es gibt 3 weiße und 1 schwarze Kugel. - Anzahl der günstigen Kombinationen: \(\binom{3}{1} \times \binom{1}{1} = 3 \times 1 = 3\) - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{3}{45} = \frac{1}{15}\) 3. **rs (rot-schwarz)**: - Es gibt 6 rote und 1 schwarze Kugel. - Anzahl der günstigen Kombinationen: \(\binom{6}{1} \times \binom{1}{1} = 6 \times 1 = 6\) - Wahrscheinlichkeit: \(\frac{6}{45} = \frac{2}{15}\) Zusammengefasst: - Wahrscheinlichkeit für ss: 0 - Wahrscheinlichkeit für ws: \(\frac{1}{15}\) - Wahrscheinlichkeit für rs: \(\frac{2}{15}\)

Um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationen von Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen zu berechnen, müssen die Gesamtanzahl der Kugeln und die Anzahl der möglichen Kombinationen berücksichtigt werden. Es gibt insgesamt 10 Kugeln (6 rote, 3 weiße und 1 schwarze). 1. **Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen (s):** - Es gibt 1 schwarze Kugel von insgesamt 10 Kugeln. - Die Wahrscheinlichkeit, die schwarze Kugel in der ersten Ziehung zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \). 2. **Wahrscheinlichkeit, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen (ws):** - Es gibt 3 weiße und 1 schwarze Kugel. - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). - Die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Kombination ws (weiße und schwarze Kugel in beliebiger Reihenfolge) beträgt \( \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \). 3. **Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen (rs):** - Es gibt 6 rote und 1 schwarze Kugel. - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{6}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \). - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine rote Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \). - Die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Kombination rs (rote und schwarze Kugel in beliebiger Reihenfolge) beträgt \( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \). Zusammengefasst: - Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen (s): \( \frac{1}{10} \) - Wahrscheinlichkeit, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen (ws): \( \frac{1}{15} \) - Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen (rs): \( \frac{2}{15} \)

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, kann man den komplimentären Ansatz verwenden, also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Susi keinen Gewinn zieht, und diese von 1 subtrahieren. 1. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi keinen Gewinn zieht:** - Beim ersten Los: Die Wahrscheinlichkeit, eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{450}{500}\). - Beim zweiten Los: Nachdem eine Niete gezogen wurde, sind noch 449 Nieten und insgesamt 499 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, erneut eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{449}{499}\). - Beim dritten Los: Nachdem zwei Nieten gezogen wurden, sind noch 448 Nieten und insgesamt 498 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, wieder eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{448}{498}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Susi drei Nieten zieht, ist das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten: \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \] 2. **Berechnung:** \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \approx 0.812 \] 3. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht:** \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - P(\text{drei Nieten}) \] \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - 0.812 = 0.188 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, beträgt also etwa 0.188 oder 18.8%.