Wahrscheinlichkeit Ziehungen ohne Zurücklegen aus 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel für s, ws, rs?

Question

Wahrscheinlichkeit Ziehungen ohne Zurücklegen aus 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel für s, ws, rs?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Kombinationen von Kugeln bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen zu berechnen, müssen die Gesamtanzahl der Kugeln und die Anzahl der möglichen Kombinationen berücksichtigt werden. Es gibt insgesamt 10 Kugeln (6 rote, 3 weiße und 1 schwarze). 1. **Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen (s):** - Es gibt 1 schwarze Kugel von insgesamt 10 Kugeln. - Die Wahrscheinlichkeit, die schwarze Kugel in der ersten Ziehung zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \). 2. **Wahrscheinlichkeit, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen (ws):** - Es gibt 3 weiße und 1 schwarze Kugel. - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße und dann eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{3}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \). - Die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Kombination ws (weiße und schwarze Kugel in beliebiger Reihenfolge) beträgt \( \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \). 3. **Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen (rs):** - Es gibt 6 rote und 1 schwarze Kugel. - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine schwarze Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{6}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \). - Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine rote Kugel zu ziehen, beträgt \( \frac{1}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \). - Die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Kombination rs (rote und schwarze Kugel in beliebiger Reihenfolge) beträgt \( \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \). Zusammengefasst: - Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen (s): \( \frac{1}{10} \) - Wahrscheinlichkeit, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen (ws): \( \frac{1}{15} \) - Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine schwarze Kugel zu ziehen (rs): \( \frac{2}{15} \)

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.