Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Susi bei einer Tombola mit 500 Losen, von denen 50 Gewinne sind, bei drei Ziehungen mindestens einen Gewinn zieht?

Question

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Susi bei einer Tombola mit 500 Losen, von denen 50 Gewinne sind, bei drei Ziehungen mindestens einen Gewinn zieht?

Antwort

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10 Kugeln (6 rot, 3 weiß, 1 schwarz). 2 ziehen ohne zurücklegen. Einsatz 1 €. Gewinne: ww 2€, rr 1,25€, wr 1,5€, s 0€. Wahrscheinlichkeiten, Mindestgewinn?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Werfen von 2 fairen Würfeln eine Augensumme von 10 zu erhalten?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zweimal zu würfeln?

Gesamt 10 Kugeln (6 r + 3 w + 1 s). 2 Ziehungen ohne Zurücklegen. Einsatz 1 €. Gewinn bei ww 2€, rr 1,25€, wr 1,5€, mit einer s 0€. Gewinnwahrscheinlichkeit?

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, kann man den komplimentären Ansatz verwenden, also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Susi keinen Gewinn zieht, und diese von 1 subtrahieren. 1. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi keinen Gewinn zieht:** - Beim ersten Los: Die Wahrscheinlichkeit, eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{450}{500}\). - Beim zweiten Los: Nachdem eine Niete gezogen wurde, sind noch 449 Nieten und insgesamt 499 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, erneut eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{449}{499}\). - Beim dritten Los: Nachdem zwei Nieten gezogen wurden, sind noch 448 Nieten und insgesamt 498 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, wieder eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{448}{498}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Susi drei Nieten zieht, ist das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten: \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \] 2. **Berechnung:** \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \approx 0.812 \] 3. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht:** \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - P(\text{drei Nieten}) \] \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - 0.812 = 0.188 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, beträgt also etwa 0.188 oder 18.8%.

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Um den erwarteten Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der gezogenen Kugeln und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Es... [mehr]

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Um den erwarteten Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der gezogenen Kugeln und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Es gibt insgesamt 10 Kugeln: 6 rote (r), 3 weiße (w) und 1 schwarze (s). Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die möglichen Kombinationen und ihre Wahrscheinlichkeiten sind: 1. Zwei rote Kugeln (rr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (5/9) = 30/90 = 1/3 - Gewinn: 1,25 € 2. Zwei weiße Kugeln (ww): - Wahrscheinlichkeit: (3/10) * (2/9) = 6/90 = 1/15 - Gewinn: 2 € 3. Eine rote und eine weiße Kugel (rw oder wr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (3/9) + (3/10) * (6/9) = 36/90 = 2/5 - Gewinn: 1,5 € 4. Eine schwarze Kugel (s) und eine andere Kugel (r oder w): - Wahrscheinlichkeit: (1/10) * (9/9) + (9/10) * (1/9) = 1/10 + 1/10 = 1/5 - Gewinn: 0 € Der erwartete Gewinn (E) kann nun berechnet werden: E = (1/3 * 1,25 €) + (1/15 * 2 €) + (2/5 * 1,5 €) + (1/5 * 0 €) E = (/ * 1,25) + (1/15 * 2 + (2/5 * 1,5) + (1/5 * 0) E = (0,4167) + (0,1333) + (0,6) + (0) E = 1,15 € Da der Einsatz 1 € beträgt, ist der Mindestgewinn 0,5 €: Mindestgewinn = Erwarteter Gewinn - Einsatz Mindestgewinn = 1,15 € - 1 € Mindestgewinn = 0,15 € Der Mindestgewinn beträgt also 0,15 €.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Werfen von zwei fairen Würfeln eine Augensumme von 10 erzielt wird, müssen zunächst alle möglichen Kombinationen de... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Werfen von zwei fairen Würfeln eine Augensumme von 10 erzielt wird, müssen zunächst alle möglichen Kombinationen der Würfelergebnisse betrachtet werden. Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6 \times 6 = 36\) mögliche Kombinationen. Nun werden die Kombinationen identifiziert, die eine Augensumme von 10 ergeben: - (4, 6) - (5, 5) - (6, 4) Es gibt also 3 Kombinationen, die eine Augensumme von 10 ergeben. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist dann das Verhältnis der günstigen Kombinationen zur Gesamtzahl der möglichen Kombinationen: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Gesamtzahl der möglichen Kombinationen}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Werfen von zwei fairen Würfeln eine Augensumme von 10 zu erhalten, beträgt also \(\frac{1}{12}\) oder etwa 8,33 %.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die Zahl 3 zweimal hintereinander mit einem fairen sechsseitigen Würfel zu würfeln, kann man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multipl... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die Zahl 3 zweimal hintereinander mit einem fairen sechsseitigen Würfel zu würfeln, kann man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine 3 zu würfeln, beträgt \(\frac{1}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf ebenfalls eine 3 zu würfeln, beträgt ebenfalls \(\frac{1}{6}\). Da die beiden Würfe unabhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \] Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zweimal hintereinander zu würfeln, beträgt also \(\frac{1}{36}\) oder etwa 2,78%.

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Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier... [mehr]

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Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination:** - **ww (weiß-weiß):** \[ P(ww) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] - **rr (rot-rot):** \[ P(rr) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \] - **wr (weiß-rot) oder rw (rot-weiß):** \[ P(wr) = \frac{3}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] \[ P(rw) = \frac{6}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] Da wr und rw gleichwertig sind: \[ P(wr \text{ oder } rw) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] - **Kombinationen mit einer schwarzen Kugel (s):** \[ P(s) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{9} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] 2. **Berechne die erwarteten Gewinne:** - **Gewinn bei ww: 2€** - **Gewinn bei rr: 1,25€** - **Gewinn bei wr oder rw: 1,5€** - **Gewinn bei einer schwarzen Kugel: 0€** 3. **Erwarteter Gewinn:** \[ E(Gewinn) = P(ww) \times 2 + P(rr) \times 1,25 + P(wr \text{ oder } rw) \times 1,5 + P(s) \times 0 \] Setze die Wahrscheinlichkeiten ein: \[ E(Gewinn) = \frac{1}{15} \times 2 + \frac{1}{3} \times 1,25 + \frac{2}{5} \times 1,5 + \frac{1}{5} \times 0 \] Berechne die einzelnen Terme: \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25}{3} + \frac{3}{5} \] Um die Brüche zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (15): \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25 \times 5}{15} + \frac{3 \times 3}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{6,25}{15} + \frac{9}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2 + 6,25 + 9}{15} = \frac{17,25}{15} = 1,15 \] Der erwartete Gewinn beträgt also 1,15€. Da der Einsatz 1€ beträgt, ist der Nettogewinn 0,15€.