4 Fragen zu Isotherm

Bei der isothermen und reversiblen Expansion eines idealen Gases kann die Arbeit, die verrichtet wird, mit der Formel für die Arbeit \( W \) während der isothermen Expansion berechnet werden: \[ W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \] Hierbei ist: - \( n \) die Anzahl der Mol (in diesem Fall 1 Mol), - \( R \) die ideale Gaskonstante (8,314 J/(mol·K)), - \( T \) die Temperatur in Kelvin (298 K), - \( V_f \) das Endvolumen, - \( V_i \) das Anfangsvolumen. Zuerst müssen wir die Volumina \( V_i \) und \( V_f \) berechnen. Wir verwenden die ideale Gasgleichung: \[ PV = nRT \] Für den Anfangszustand (10 bar): \[ V_i = \frac{nRT}{P_i} = \frac{1 \, \text{mol} \cdot 8,314 \, \text{J/(mol \cdot K)} \cdot 298 \, \text{K}}{10 \, \text{bar} \cdot 10^5 \, \text{Pa/bar}} = \frac{2477.572}{10^6} \approx 0.002477 \, \text{m}^3 \] Für den Endzustand (1 bar): \[ V_f = \frac{nRT}{P_f} = \frac{1 \, \text{mol} \cdot 8,314 \, \text{J/(mol \cdot K)} \cdot 298 \, \text{K}}{1 \, \text{bar} \cdot 10^5 \, \text{Pa/bar}} = \frac{2477.572}{10^5} \approx 0.02477572 \, \text{m}^3 \] Jetzt setzen wir \( V_i \) und \( V_f \) in die Arbeitsformel ein: \[ W = -1 \cdot 8,314 \cdot 298 \cdot \ln\left(\frac{0.02477572}{0.002477}\right) \] Berechne den natürlichen Logarithmus: \[ \ln\left(\frac{0.02477572}{0.002477}\right) \approx \ln(10) \approx 2.3026 \] Setze dies in die Arbeitsformel ein: \[ W \approx -1 \cdot 8,314 \cdot 298 \cdot 2.3026 \approx -5736.5 \, \text{J} \] Die Arbeit, die während der isothermen Expansion verrichtet wird, beträgt also etwa -5736,5 J. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass Arbeit vom System verrichtet wird.

Der Unterschied zwischen adiabatischer und isothermer Expansion lässt sich an den entsprechenden Kurven in einem p-V-Diagramm (Druck-Volumen-Diagramm) erkennen. 1. **Isotherme Expansion**: Bei einer isothermen Expansion bleibt die Temperatur konstant. Die Kurve verläuft hyperbolisch, da der Druck (p) und das Volumen (V) in einem inversen Verhältnis zueinander stehen (pV = konstant). Diese Kurve zeigt, dass bei zunehmendem Volumen der Druck abnimmt, während die Temperatur gleich bleibt. 2. **Adiabatische Expansion**: Bei einer adiabatischen Expansion findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. Die Kurve verläuft steiler als die isotherme Kurve, da der Druck schneller abnimmt, wenn das Volumen zunimmt. Dies liegt daran, dass die Temperatur während der Expansion sinkt, was zu einem schnelleren Druckabfall führt. Zusammengefasst: Im p-V-Diagramm ist die isotherme Kurve flacher und verläuft hyperbolisch, während die adiabatische Kurve steiler ist und ebenfalls eine hyperbolische Form hat, jedoch bei einem niedrigeren Druck für ein gegebenes Volumen liegt.

Bei der reversiblen isothermen Expansion eines idealen Gases bleibt die Temperatur konstant. Da die Expansion Arbeit verrichtet, wird Wärme (q) vom System aufgenommen, um die Arbeit zu kompensieren. Daher ist q aus Sicht des Systems positiv.

Um den reversiblen isothermen Prozess eines idealen Gases in einem p,V-Diagramm zu skieren, sind folgende Schritte zu beachten: 1. **Achsen beschriften**: Die x-Achse repräsentiert das Volumen (V) und die y-Achse den Druck (p). 2. **Startpunkt festlegen**: Beginne bei einem Druck von 10 bar und einem bestimmten Volumen, das du berechnen kannst, indem du die ideale Gasgleichung \( PV = nRT \) verwendest. Für 1 Mol (n=1) und T=298 K (R=0.08314 L·bar/K·mol) ergibt sich: \[ V = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \cdot 0.08314 \cdot 298}{10} \approx 2.48 \, \text{L} \] Der Startpunkt ist also (2.48 L, 10 bar). 3. **Endpunkt festlegen**: Der Enddruck ist 1 bar. Um das Endvolumen zu berechnen, verwendest du wieder die ideale Gasgleichung: \[ V = \frac{nRT}{P} = \frac{1 \cdot 0.08314 \cdot 298}{1} \approx 24.79 \, \text{L} \] Der Endpunkt ist also (24.79 L, 1 bar). 4. **Kurve zeichnen**: Der Prozess ist isotherm, was bedeutet, dass die Temperatur konstant bleibt. Im p,V-Diagramm wird die Kurve eine hyperbolische Form haben, die von (2.48 L, 10 bar) nach (24.79 L, 1 bar) verläuft. 5. **Kurvenverlauf**: Die Kurve wird von links oben nach rechts unten verlaufen, da der Druck mit steigendem Volumen abnimmt. Zusammengefasst zeigt das p,V-Diagramm eine hyperbolische Kurve, die den isothermen Prozess eines idealen Gases von 10 bar auf 1 bar bei konstanter Temperatur von 298 K darstellt.