3 Fragen zu Hauswand

Um die Neigung der Leiter zu berechnen, kannst du den Sinus des Winkels verwenden, der sich aus der Höhe der Wand und der Länge der Leiter ergibt. Die Formel lautet: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{9,5 \, \text{m}}{12 \, \text{m}} \] Berechne den Sinus: \[ \sin(\theta) = \frac{9,5}{12} \approx 0,7917 \] Um den Winkel \(\theta\) zu finden, verwendest du den Arkussinus: \[ \theta = \arcsin(0,7917) \approx 52,5^\circ \] Die Leiter muss also mit einer Neigung von etwa 52,5 Grad abgelehnt werden.

Um zu überprüfen, ob eine 30 m lange Feuerwehrleiter, die in einem Abstand von 12 m zur Hauswand aufgestellt wird, tatsächlich bis zu einer Höhe von 23 m reicht, kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Die Leiter, die Hauswand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Leiter die Hypotenuse ist. Die Höhe, die die Leiter erreicht, ist eine Kathete, und der Abstand zur Hauswand ist die andere Kathete. Die Formel lautet: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Dabei ist: - \( c \) die Länge der Leiter (30 m), - \( a \) die Höhe (die wir herausfinden wollen), - \( b \) der Abstand zur Wand (12 m). Setzen wir die Werte ein: \[ 30^2 = a^2 + 12^2 \] \[ 900 = a^2 + 144 \] \[ a^2 = 900 - 144 \] \[ a^2 = 756 \] \[ a = \sqrt{756} \] \[ a \approx 27.5 \, \text{m} \] Die Leiter reicht also bis zu einer Höhe von etwa 27,5 m, was höher ist als die angegebene Höhe von 23 m.

Um den maximalen Platz zu bestimmen, den Mia mit 11 m Zaun unter Verwendung der Hauswand und der Garage einzäunen kann, können wir die Formeln für den Umfang und die Fläche eines Rechtecks verwenden. Angenommen, die Länge des Platzes parallel zur Hauswand ist \( x \) und die Breite, die senkrecht zur Hauswand ist, ist \( y \). Da Mia nur drei Seiten einzäunen muss (die vierte Seite ist die Hauswand oder die Garage), gilt: \[ x + 2y = 11 \] Um die Fläche \( A \) des Rechtecks zu maximieren, verwenden wir die Formel: \[ A = x \cdot y \] Wir können \( x \) aus der Umfangsgleichung umstellen: \[ x = 11 - 2y \] Setzen wir dies in die Flächenformel ein: \[ A = (11 - 2y) \cdot y \] \[ A = 11y - 2y^2 \] Um die Fläche zu maximieren, leiten wir die Funktion \( A \) nach \( y \) ab und setzen die Ableitung gleich null: \[ \frac{dA}{dy} = 11 - 4y = 0 \] Lösen wir nach \( y \): \[ 4y = 11 \] \[ y = \frac{11}{4} = 2,75 \, \text{m} \] Setzen wir \( y \) zurück in die Gleichung für \( x \): \[ x = 11 - 2 \cdot 2,75 = 11 - 5,5 = 5,5 \, \text{m} \] Die Maße, die den Platz maximal machen, sind also: - Länge \( x = 5,5 \, \text{m} \) - Breite \( y = 2,75 \, \text{m} \) Somit hat der Platz die maximalen Maße von 5,5 m in der Länge und 2,75 m in der Breite.