Mia möchte einen rechteckigen Platz mit 11m Zaun und nutzt eine Hauswand und eine Garage. Wie werden die Maße am größten?

Um den maximalen Platz zu bestimmen, den Mia mit 11 m Zaun unter Verwendung der Hauswand und der Garage einzäunen kann, können wir die Formeln für den Umfang und die Fläche eines Rechtecks verwenden.

Angenommen, die Länge des Platzes parallel zur Hauswand ist \( x \) und die Breite, die senkrecht zur Hauswand ist, ist \( y \). Da Mia nur drei Seiten einzäunen muss (die vierte Seite ist die Hauswand oder die Garage), gilt:

\[ x + 2y = 11 \]

Um die Fläche \( A \) des Rechtecks zu maximieren, verwenden wir die Formel:

\[ A = x \cdot y \]

Wir können \( x \) aus der Umfangsgleichung umstellen:

\[ x = 11 - 2y \]

Setzen wir dies in die Flächenformel ein:

\[ A = (11 - 2y) \cdot y \]
\[ A = 11y - 2y^2 \]

Um die Fläche zu maximieren, leiten wir die Funktion \( A \) nach \( y \) ab und setzen die Ableitung gleich null:

\[ \frac{dA}{dy} = 11 - 4y = 0 \]

Lösen wir nach \( y \):

\[ 4y = 11 \]
\[ y = \frac{11}{4} = 2,75 \, \text{m} \]

Setzen wir \( y \) zurück in die Gleichung für \( x \):

\[ x = 11 - 2 \cdot 2,75 = 11 - 5,5 = 5,5 \, \text{m} \]

Die Maße, die den Platz maximal machen, sind also:

- Länge \( x = 5,5 \, \text{m} \)
- Breite \( y = 2,75 \, \text{m} \)

Somit hat der Platz die maximalen Maße von 5,5 m in der Länge und 2,75 m in der Breite.