Mia möchte einen rechteckigen Platz einzäunen und hat dafür 11m Zaun. Welche Maße ergeben die größte Fläche?

Um den größtmöglichen Platz mit einem Zaun von 11 m zu umschließen, der an zwei Wänden (Wand a und Wand b) angrenzt, kannst du die Länge und Breite des Rechtecks so wählen, dass die Summe der beiden Längen und der beiden Breiten 11 m ergibt.

Sei \( x \) die Länge des Platzes parallel zur Wand a und \( y \) die Breite des Platzes parallel zur Wand b. Da nur eine Seite des Rechtecks eingezäunt werden muss, gilt:

\[ x + 2y = 11 \]

Um die Fläche \( A \) des Rechtecks zu maximieren, verwenden wir die Formel:

\[ A = x \cdot y \]

Wir können \( x \) aus der ersten Gleichung isolieren:

\[ x = 11 - 2y \]

Setze dies in die Flächenformel ein:

\[ A = (11 - 2y) \cdot y \]
\[ A = 11y - 2y^2 \]

Um die Fläche zu maximieren, berechnen wir die Ableitung von \( A \) und setzen sie gleich null:

\[ \frac{dA}{dy} = 11 - 4y \]

Setze die Ableitung gleich null:

\[ 11 - 4y = 0 \]
\[ 4y = 11 \]
\[ y = \frac{11}{4} = 2,75 \, \text{m} \]

Setze \( y \) zurück in die Gleichung für \( x \):

\[ x = 11 - 2 \cdot 2,75 = 11 - 5,5 = 5,5 \, \text{m} \]

Die Maße, die den Platz am größten machen, sind also:

- Länge \( x = 5,5 \, \text{m} \)
- Breite \( y = 2,75 \, \text{m} \)

Diese Maße maximieren die Fläche des Rechtecks.