Um den maximalen Platz zu bestimmen, den Mia mit 11 m Zaun unter Verwendung der Hauswand und der Garage einzäunen kann, können wir die Formeln für den Umfang und die Fläche eines R...
Mia möchte einen rechteckigen Platz einzäunen und hat dafür 11m Zaun. Welche Maße ergeben die größte Fläche?
Antwort vomUm den größtmöglichen Platz mit einem Zaun von 11 m zu umschließen, der an zwei Wänden (Wand a und Wand b) angrenzt, kannst du die Länge und Breite des Rechtecks so wählen, dass die Summe der beiden Längen und der beiden Breiten 11 m ergibt. Sei \( x \) die Länge des Platzes parallel zur Wand a und \( y \) die Breite des Platzes parallel zur Wand b. Da nur eine Seite des Rechtecks eingezäunt werden muss, gilt: \[ x + 2y = 11 \] Um die Fläche \( A \) des Rechtecks zu maximieren, verwenden wir die Formel: \[ A = x \cdot y \] Wir können \( x \) aus der ersten Gleichung isolieren: \[ x = 11 - 2y \] Setze dies in die Flächenformel ein: \[ A = (11 - 2y) \cdot y \] \[ A = 11y - 2y^2 \] Um die Fläche zu maximieren, berechnen wir die Ableitung von \( A \) und setzen sie gleich null: \[ \frac{dA}{dy} = 11 - 4y \] Setze die Ableitung gleich null: \[ 11 - 4y = 0 \] \[ 4y = 11 \] \[ y = \frac{11}{4} = 2,75 \, \text{m} \] Setze \( y \) zurück in die Gleichung für \( x \): \[ x = 11 - 2 \cdot 2,75 = 11 - 5,5 = 5,5 \, \text{m} \] Die Maße, die den Platz am größten machen, sind also: - Länge \( x = 5,5 \, \text{m} \) - Breite \( y = 2,75 \, \text{m} \) Diese Maße maximieren die Fläche des Rechtecks.