3 Fragen zu Gewinnfunktion

Im Kontext der Wirtschaftstheorie bezieht sich das Laissez-faire-Gleichgewicht auf eine Marktsituation, in der es keine staatlichen Eingriffe gibt und die Marktkräfte von Angebot und Nachfrage frei wirken können. Die Gewinnfunktion eines Unternehmens in einem solchen Gleichgewicht kann allgemein wie folgt dargestellt werden: \[ \Pi(q) = R(q) - C(q) \] wobei: - \(\Pi(q)\) der Gewinn ist, - \(R(q)\) der Gesamterlös (Revenue) ist, der sich aus dem Verkaufspreis \(P\) und der Menge \(q\) ergibt, also \(R(q) = P \cdot q\), - \(C(q)\) die Gesamtkosten (Cost) sind, die von der produzierten Menge \(q\) abhängen. In einem Laissez-faire-Markt wird angenommen, dass der Preis \(P\) durch das Marktgleichgewicht bestimmt wird, wo Angebot und Nachfrage gleich sind. Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn, indem sie die Produktionsmenge \(q\) so wählen, dass die Differenz zwischen Gesamterlös und Gesamtkosten maximiert wird. Die Bedingung für die Gewinnmaximierung ist, dass der Grenzerlös (Marginal Revenue, \(MR\)) gleich den Grenzkosten (Marginal Cost, \(MC\)) ist: \[ MR = MC \] Diese Bedingung hilft den Unternehmen, die optimale Produktionsmenge \(q^*\) zu bestimmen, bei der der Gewinn maximiert wird.

Eine Gewinnfunktion ist eine mathem Darstellung, die den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von verschiedenen Variablen beschreibt. Sie wird oft in der Form \( G(x) = E(x) - K(x) \) dargestellt, wobei: - \( G(x) \) der Gewinn ist, - \( E(x) \) die Einnahmen (oder der Umsatz) sind, - \( K(x) \) die Kosten sind, - \( x \) die Menge der produzierten und verkauften Einheiten ist. Die Gewinnfunktion hilft Unternehmen, den optimalen Produktions- und Verkaufsumfang zu bestimmen, um den Gewinn zu maximieren.

Um den Stückgewinn \( g \) und den Gesamtgewinn G \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge zu bestimmen, müssen wir zunächst die Gewinnfunktion analysieren. Die Gewinnfunktion ist gegeben durch: \[ G(x) = -x^3 + 15x^2 - 17x - 25 \] 1. **Gewinnmaximale Produktionsmenge finden**: Dazu setzen wir die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich null und lösen nach \( x \) auf. Die erste Ableitung \( G'(x) \) ist: \[ G'(x) = -3x^2 + 30x - 17 \] Setze \( G'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 30x - 17 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = -3 \), \( b = 30 \), und \( c = -17 \): \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-17)}}{2 \cdot (-3)} \] \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 204}}{-6} \] \[ x = \frac{-30 \pm \sqrt{696}}{-6} \] \[ x = \frac{-30 \pm 26.4}{-6} \] Das ergibt zwei Lösungen: \[ x_1 \approx 0.6 \quad \text{und} \quad x_2 \approx 5.6 \] Um die gewinnmaximale Produktionsmenge zu bestimmen, prüfen wir die Werte in der zweiten Ableitung \( G''(x) \): \[ G''(x) = -6x + 30 \] Für \( x_1 \) und \( x_2 \): - Bei \( x_1 \approx 0.6 \): \( G''(0.6) \approx 27.6 > 0 \) (Minimum) - Bei \( x_2 \approx 5.6 \): \( G''(5.6) \approx -0.4 < 0 \) (Maximum) Somit ist die gewinnmaximale Produktionsmenge \( x \approx 5.6 \). 2. **Stückgewinn \( g \)**: Der Stückgewinn ist der Gewinn pro produzierter Einheit, also \( g = G'(x) \) an der gewinnmaximalen Produktionsmenge: \[ g(5.6) = G'(5.6) = -3(5.6)^2 + 30(5.6) - 17 \] Berechne \( g(5.6) \): \[ g(5.6) = -3(31.36) + 168 - 17 \approx -94.08 + 168 - 17 \approx 56.92 \] 3. **Gesamtgewinn \( G \)**: Setze \( x = 5.6 \) in die Gewinnfunktion ein: \[ G(5.6) = - (5.6)^3 + 15(5.6)^2 - 17(5.6) - 25 \] Berechne \( G(5.6) \): \[ G(5.6) = -175.616 + 468 - 95.2 - 25 \approx 172.184 \] Zusammenfassend: - Der Stückgewinn \( g \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge beträgt etwa \( 56.92 \). - Der Gesamtgewinn \( G \) bei dieser Menge beträgt etwa \( 172.18 \).