Wie sind der Stückgewinn g und der Gesamtgewinn G bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge, wenn die Gewinnfunktion =-x^3+15x^2-17x-25 ist?

Um den Stückgewinn \( g \) und den Gesamtgewinn G \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge zu bestimmen, müssen wir zunächst die Gewinnfunktion analysieren.

Die Gewinnfunktion ist gegeben durch:

\[
G(x) = -x^3 + 15x^2 - 17x - 25
\]

1. **Gewinnmaximale Produktionsmenge finden**: Dazu setzen wir die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich null und lösen nach \( x \) auf.

Die erste Ableitung \( G'(x) \) ist:

\[
G'(x) = -3x^2 + 30x - 17
\]

Setze \( G'(x) = 0 \):

\[
-3x^2 + 30x - 17 = 0
\]

Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Hier ist \( a = -3 \), \( b = 30 \), und \( c = -17 \):

\[
x = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-17)}}{2 \cdot (-3)}
\]
\[
x = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 204}}{-6}
\]
\[
x = \frac{-30 \pm \sqrt{696}}{-6}
\]
\[
x = \frac{-30 \pm 26.4}{-6}
\]

Das ergibt zwei Lösungen:

\[
x_1 \approx 0.6 \quad \text{und} \quad x_2 \approx 5.6
\]

Um die gewinnmaximale Produktionsmenge zu bestimmen, prüfen wir die Werte in der zweiten Ableitung \( G''(x) \):

\[
G''(x) = -6x + 30
\]

Für \( x_1 \) und \( x_2 \):

- Bei \( x_1 \approx 0.6 \): \( G''(0.6) \approx 27.6 > 0 \) (Minimum)
- Bei \( x_2 \approx 5.6 \): \( G''(5.6) \approx -0.4 < 0 \) (Maximum)

Somit ist die gewinnmaximale Produktionsmenge \( x \approx 5.6 \).

2. **Stückgewinn \( g \)**: Der Stückgewinn ist der Gewinn pro produzierter Einheit, also \( g = G'(x) \) an der gewinnmaximalen Produktionsmenge:

\[
g(5.6) = G'(5.6) = -3(5.6)^2 + 30(5.6) - 17
\]

Berechne \( g(5.6) \):

\[
g(5.6) = -3(31.36) + 168 - 17 \approx -94.08 + 168 - 17 \approx 56.92
\]

3. **Gesamtgewinn \( G \)**: Setze \( x = 5.6 \) in die Gewinnfunktion ein:

\[
G(5.6) = - (5.6)^3 + 15(5.6)^2 - 17(5.6) - 25
\]

Berechne \( G(5.6) \):

\[
G(5.6) = -175.616 + 468 - 95.2 - 25 \approx 172.184
\]

Zusammenfassend:

- Der Stückgewinn \( g \) bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge beträgt etwa \( 56.92 \).
- Der Gesamtgewinn \( G \) bei dieser Menge beträgt etwa \( 172.18 \).