Nach welcher Zeit ist der Kondensator auf 99,9% seines Endwertes aufgeladen?

Die Zeit, die ein Kondensator benötigt, um auf einen bestimmten Prozentsatz seines Endwertes aufgeladen zu werden, hängt von der Zeitkonstante \( \tau \) des RC-Gliedes ab, die durch die Formel \( \tau = R \cdot C \) definiert ist, wobei \( R \) der Widerstand und \( C \) die Kapazität des Kondensators ist.

Die Spannung \( V(t) \) über dem Kondensator zum Zeitpunkt \( t \) wird durch die Formel beschrieben:

\[
V(t) = V_0 \cdot (1 - e^{-t/\tau})
\]

wobei \( V_0 \) die maximale Spannung ist und \( e \) die Eulersche Zahl ist.

Um herauszufinden, wann der Kondensator 99,9% seines Endwertes erreicht, setzt man \( V(t) = 0,999 \cdot V_0 \) ein:

\[
0,999 \cdot V_0 = V_0 \cdot (1 - e^{-t/\tau})
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
0,999 = 1 - e^{-t/\tau}
\]

Daraus folgt:

\[
e^{-t/\tau} = 0,001
\]

Um \( t \) zu isolieren, nimmt man den natürlichen Logarithmus:

\[
-t/\tau = \ln(0,001)
\]

Somit ergibt sich:

\[
t = -\tau \cdot \ln(0,001)
\]

Da \( \ln(0,001) \approx -6,907 \), kann man die Gleichung weiter vereinfachen:

\[
t \approx 6,907 \cdot \tau
\]

Das bedeutet, dass der Kondensator nach etwa 6,907 Zeitkonstanten \( \tau \) auf 99,9% seines Endwertes aufgeladen ist.