Berechne mit der Gibbs-Helmholtz-Gleichung die Temperatur, ab der die Umwandlung von Al(OH)3 zu Al2O3 und H2O freiwillig abläuft.

Um die Temperatur zu berechnen, ab der die Reaktion

\[ 2 \mathrm{Al(OH)_3} \rightarrow \mathrm{Al_2O_3} + 3 \mathrm{H_2O} \]

freiwillig (also spontan) abläuft, nutzt man die Gibbs-Helmholtz-Gleichung:

\[
\Delta G = \Delta H - T \Delta S
\]

Die Reaktion läuft freiwillig ab, wenn \(\Delta G < 0\). Der kritische Punkt ist, wenn \(\Delta G = 0\):

\[
0 = \Delta H - T \Delta S \implies T = \frac{\Delta H}{\Delta S}
\]

**1. Standardbildungsenthalpien (\(\Delta H_f^\circ\)) und Standardentropien (\(S^\circ\)) nachschlagen:**

| Verbindung | \(\Delta H_f^\circ\) [kJ/mol] | \(S^\circ\) [J/(mol·K)] |
|--------------------|-------------------------------|-------------------------|
| Al(OH)\(_3\) (s) | -1276 | 65 |
| Al\(_2\)O\(_3\) (s)| -1676 | 51 |
| H\(_2\)O (g) | -242 | 189 |

**2. Reaktionsenthalpie (\(\Delta H\)) berechnen:**

\[
\Delta H = [\Delta H_f^\circ(\mathrm{Al_2O_3}) + 3 \cdot \Delta H_f^\circ(\mathrm{H_2O})] - [2 \cdot \Delta H_f^\circ(\mathrm{Al(OH)_3})]
\]
\[
= [-1676 + 3 \cdot (-242)] - [2 \cdot (-1276)]
\]
\[
= [-1676 - 726] - [-2552]
\]
\[
= -2402 + 2552 = +150\, \text{kJ}
\]

**3. Reaktionsentropie (\(\Delta S\)) berechnen:**

\[
\Delta S = [S^\circ(\mathrm{Al_2O_3}) + 3 \cdot S^\circ(\mathrm{H_2O})] - [2 \cdot S^\circ(\mathrm{Al(OH)_3})]
\]
\[
= [51 + 3 \cdot 189] - [2 \cdot 65]
\]
\[
= [51 + 567] - 130
\]
\[
= 618 - 130 = 488\, \text{J/K}
\]

**4. Temperatur berechnen:**

\[
T = \frac{\Delta H}{\Delta S}
\]

Achte auf die Einheiten: \(\Delta H = 150\,000\, \text{J}\), \(\Delta S = 488\, \text{J/K}\):

\[
T = \frac{150\,000}{488} \approx 307\, \text{K}
\]

**Antwort:**
Die Umwandlung von Al(OH)\(_3\) in Al\(_2\)O\(_3\) und H\(_2\)O läuft ab etwa **307 K** (ca. 34 °C) freiwillig ab.

**Hinweis:**
Die Werte können je nach Quelle leicht variieren. Für eine präzise Berechnung sollten die exakten Werte aus einer zuverlässigen Datenbank verwendet werden.